分数规划整理

分数规划问题，是指这样一类问题：

要求f(x)/g(x)的最值，其中f(x),g(x)都是线性函数，而其中被研究的最多的是0-1分数规划，即求这样的一个式子的极值

r=(∑(ci*xi))/(∑(di*xi))，其中xi∈{0,1}

我们可以把这个式子变换一下

z=(∑(ci*xi))-r'*(∑(di*xi))，其中z是左边这个式子的最大(小)值

由于di为正数，xi为非负数，所以

r'>r 时 z(r')<0

r'=r 时 z(r')=0

r'<r 时 z(r')>0
　

易证z函数严格单调递减，那么我们可以二分r'，直到z(r')=0,此时r'=r，问题得解

PS：z函数也是凸函数

　

　

除了二分，还有一种算法叫Dinkelbach算法

每次将r'代入z函数中计算以后，我们将得到一组x

让r''=(∑(ci*xi))/(∑(di*xi))

当r''=r'时，r''就是我们需要的解

否则将r'=r''，继续迭代

这种方法比二分法要快一点

　

POJ 2728

大意:给定每条边的距离和代价，求一棵生成树使得代价和/距离和最小

这是一道最优比率生成树的题目，是个很明显的0-1分数规划，设每条边代价为ci,距离为di

则题目要求(∑(ci*xi))/(∑(di*xi))的最小值

那么二分这个最小值，将这个式子化成xi(ci-r'*di)的形式，每条边的权值变成ci-r'*di

对于这些边，求一棵最小生成树，MST的值即为z(r')

　

HNOI2009 最小圈

题目大意是给定一个无向图，定义环的平均值为环上的边权和/边数，求出最小的环平均值

这道题虽然看上去不像分数规划，但是巧妙地应用了分数规划的思想

二分这个平均值，然后对每条边，重新把它的权值赋为（原权值-二分值）

如果存在某一个环，他的平均值刚好是二分的值，那么新的边权和是0

如果环的平均值小于二分值，那么图中将出现负环，上界可缩小

否则需将下界变大

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本文作者：shenben
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