1227: [SDOI2009]虔诚的墓主人

1227: [SDOI2009]虔诚的墓主人

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Description

小W 是一片新造公墓的管理人。公墓可以看成一块N×M 的矩形，矩形的每个格点，要么种着一棵常青树，要么是一块还没有归属的墓地。当地的居民都是非常虔诚的基督徒，他们愿意提前为自己找一块合适墓地。为了体现自己对主的真诚，他们希望自己的墓地拥有着较高的虔诚度。一块墓地的虔诚度是指以这块墓地为中心的十字架的数目。一个十字架可以看成中间是墓地，墓地的正上、正下、正左、正右都有恰好k 棵常青树。小W 希望知道他所管理的这片公墓中所有墓地的虔诚度总和是多少

Input

第一行包含两个用空格分隔的正整数N 和M，表示公墓的宽和长，因此这个矩形公墓共有(N+1) ×(M+1)个格点，左下角的坐标为(0, 0)，右上角的坐标为(N, M)。第二行包含一个正整数W，表示公墓中常青树的个数。第三行起共W 行，每行包含两个用空格分隔的非负整数xi和yi，表示一棵常青树的坐标。输入保证没有两棵常青树拥有相同的坐标。最后一行包含一个正整数k，意义如题目所示。

Output

包含一个非负整数，表示这片公墓中所有墓地的虔诚度总和。为了方便起见，答案对2,147,483,648 取模。

Sample Input

5 6
13
0 2
0 3
1 2
1 3
2 0
2 1
2 4
2 5
2 6
3 2
3 3
4 3
5 2
2

Sample Output

6

HINT

 

图中，以墓地(2, 2)和(2, 3)为中心的十字架各有3个，即它们的虔诚度均为3。其他墓地的虔诚度为0。

所有数据满足1 ≤ N, M ≤ 1,000,000,000，0 ≤ xi ≤ N，0 ≤ yi ≤ M，1 ≤ W ≤ 100,000， 1 ≤ k ≤ 10。存在50%的数据，满足1 ≤ k ≤ 2。存在25%的数据，满足1 ≤ W ≤ 10000。

注意：”恰好有k颗树“，这里的恰好不是有且只有，而是从>=k的树中恰好选k棵

 

Source

 

 

O(nm)暴力：sigma(C(l(x,y),k)*C(r(x,y),k)*C(u(x,y),k)*C(d(x,y),k))（(x,y)是整个地图上任意一点，l,r,u,d分别表示点(x,y)正左/右/上/下方的点数，C表示组合数）。

优化：
先将所有常青树以y坐标为第一关键字，x坐标为第二关键字，从小到大排序。对于第i棵常青树，如果第i-1棵常青树的y坐标与它相同，那么两棵常青树之间的空地的虔诚度之和为：

C(l(i-1),k)*C(r(i),k)*sigma(C(u(x),k)*C(d(x),k))（x介于第i-1~第i棵常青树之间。其中l(i-1)表示与第i-1棵常青树y坐标相同，且x坐标小于等于它的常青树数量，r(i)则表示与第i棵常青树y坐标相同，且x坐标大于等于它的常青树数量；u(x),d(x)表示点(x,y)正上/下方有多少常青树，C表示组合数）。

于是我们从左往右处理某行的某一个点时，要将树状数组中该点横坐标位置上的数进行修改

修改的值为就是现在的c(u[i],k)*c[d[i],k]减去原来的，也就是c(u[i],k)*c[d[i],k]-c(u[i]+1,k)*c[d[i]-1,k]

ps:网上有些人让ans自然溢出，可以加快速度。

　　我只想说NO ZUO NO DIE。

别为了速度，WA了本可以过的点，那就得不偿失了！（因为我这样干过。。。）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=2147483648LL;
const int N=2e5+5;
struct node{
    int x,y;
}a[N];
int n,m,w,K,cnt,H[N],h[N],l[N],now[N];
ll ans,f[N],C[N][11];//WA*1 看成50%的数据了 
void getc(){
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=w;i++){
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=min(K,i);j++){
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
        }
    } 
}
int find(int x){
    int l=1,r=cnt,mid;
    while(l<=r){
        mid=l+r>>1;
        if(H[mid]==x) return mid;
        if(H[mid]>x) r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
}
int lowbit(int x){
    return x&-x;
}
void updata(int x,ll val){
    for(int i=x;i<=cnt;i+=lowbit(i)) f[i]=(f[i]+val)%mod;
}
ll query(int x){
    ll res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res=(res+f[i])%mod;
    return res;
}
bool cmp(const node &a,const node &b){
    return a.y==b.y?a.x<b.x:a.y<b.y;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&m,&n,&w);
    for(int i=1;i<=w;i++){
        scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
        H[++cnt]=a[i].x;H[++cnt]=a[i].y;
    }
    sort(H+1,H+cnt+1);
    scanf("%d",&K);getc();
    sort(a+1,a+w+1,cmp);
    for(int i=1;i<=w;i++) h[find(a[i].y)]++,l[find(a[i].x)]++;
    int lf=0;
    for(int i=1,d;i<=w;i++){
        if(i>1&&a[i-1].y==a[i].y){
            lf++;
            ll t1=query(find(a[i].x)-1)-query(find(a[i-1].x));
            ll t2=C[lf][K]*C[h[find(a[i].y)]-lf][K];//WA*2 忘了-1 
            ans+=t1*t2;
            ans%=mod;
        }
        else lf=0;
        d=find(a[i].x);now[d]++;
        ll change=(C[now[d]][K]*C[l[d]-now[d]][K]-C[now[d]-1][K]*C[l[d]-now[d]+1][K])%mod;
        //c(u[i],k)*c[d[i],k]-c(u[i]+1,k)*c[d[i]-1,k]
        updata(d,change); 
    }
    if(ans<0) ans+=mod;
    printf("%d",(int)ans);
    return 0;
}