codevs 1105 过河

1105 过河

2005年NOIP全国联赛提高组

时间限制: 1 s

空间限制: 128000 KB

题目等级 : 钻石 Diamond

题目描述 Description

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入描述 Input Description

输入第一行有一个正整数L（1<=L<=109），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1<=S<=T<=10，1<=M<=100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出描述 Output Description

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

样例输入 Sample Input

10
2 3 5
2 3 5 6 7

样例输出 Sample Output

数据范围及提示 Data Size & Hint

数据规模

对于30%的数据，L<=10000；

对于全部的数据，L<=109。

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动态规划大陆地区 NOIP全国联赛提高组 2005年

题解：

①对于任一位置x , 只能由前面[x-t , x-s]这个范围的位置跳过来，因此只要先求出这些位置踩的石子数，找个最少的位置跳过来就ok。因此很容易想到动态转移方程：

f[x]=min(f[x-j])+stone[x] ( j∈[s , t])

f[x]表示从桥头跳到x处需踩的最少石子数，stone[x]表示x处是否是石头（1表示是，0表示否）。

②桥长可达10亿，即状态数可达10亿。很显然，数组是不能开到这么大的，怎么办？由此我们想到，能否将状态数减少，又不影响结果呢？通过观察，题目中的石子数最多只有100，如果把这些石子数放到长度为10亿单位的桥上，那是多么的稀疏呀，这就为我们提供了可能。

怎么样压缩？压缩后两个石子间距离保留多长才不影响结果呢？

设第k个石子座标为x，第k-1个石子和第k个石子间距离足够大，则青蛙从两个石子间跳到第k个石子及之后的位置有：x、x+1、x+2、x+3……x+t-1。如果我们能保证，将石子k-1和石子k之间的距离缩短（即减少状态）后，青蛙依然能跳到这些位置，则可以平移。而这一点我们可以通过在两个石子间保留1个最小公倍数单位长度得到保证。

③注意特殊情况：当s=t时，只需考查石子是否是s的倍数即可。这种情况单独考查。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5;
const int M=110;
int L,s,t,m,a[N],f[N];//f[i]表示青蛙跳到位置i最少踏的石子数
bool stone[N];//stone[x]表示位置x是否是石子，0表示不是，1表示是 
void solve(){
    int d=0,k=s*t;
    for(int i=1,x;i<=m+1;i++){
        x=a[i]-d-a[i-1]; //x表示第i个石子和第i-1个石子的距离
        if(x>k) d+=x-k;//超过公倍数部分用作平移 
        a[i]-=d;
        stone[a[i]]=1;//标记平移后位置是石子 
    }
    stone[a[m+1]]=0;//桥尾不是石子 
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<a[m+1]+t;i++){//考查桥上到桥尾的所有位置 
        f[i]=1e9;
        for(int j=s;j<=t;j++){ //在i的前一个位置中找一个经历石子最少的
            if(i>=j) f[i]=min(f[i],f[i-j]);//注意判断i>=j 
        }
        f[i]+=stone[i];
    }
    int ans=1e9;
    for(int i=a[m+1];i<a[m+1]+t;i++) ans=min(ans,f[i]);//在跳过桥后所有位置中找一个最小值 
    printf("%d\n",ans);
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&L,&s,&t,&m);
    for(int i=1,x;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+m+1); //对桥中间石子位置排序，这步必须要有 
    a[0]=0;a[m+1]=L;
    if(s==t){//这种情况只需考查石子是否是石子的倍数即可 
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i]%s==0) ans++;
        printf("%d\n",ans);
    }
    else solve();
    return 0;
}

ps:输出3 6 10各得20分。

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本文作者：shenben
本文链接：https://www.cnblogs.com/shenben/p/5859048.html
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