P1066 2^k进制数
题目描述
设r是个2^k 进制数,并满足以下条件:
(1)r至少是个2位的2^k 进制数。
(2)作为2^k 进制数,除最后一位外,r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
(3)将r转换为2进制数q后,则q的总位数不超过w。
在这里,正整数k(1≤k≤9)和w(k<W< span>≤30000)是事先给定的。
问:满足上述条件的不同的r共有多少个?
我们再从另一角度作些解释:设S是长度为w 的01字符串(即字符串S由w个“0”或“1”组成),S对应于上述条件(3)中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段,每段对应一位2^k进制的数,如果S至少可分成2段,则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。
例:设k=3,w=7。则r是个八进制数(23=8)。由于w=7,长度为7的01字符串按3位一段分,可分为3段(即1,3,3,左边第一段只有一个二进制位),则满足条件的八进制数有:
2位数:高位为1:6个(即12,13,14,15,16,17),高位为2:5个,…,高位为6:1个(即67)。共6+5+…+1=21个。
3位数:高位只能是1,第2位为2:5个(即123,124,125,126,127),第2位为3:4个,…,第2位为6:1个(即167)。共5+4+…+1=15个。
所以,满足要求的r共有36个。
输入输出格式
输入格式:
输入只有1行,为两个正整数,用一个空格隔开:
k W
输出格式:
输出为1行,是一个正整数,为所求的计算结果,即满足条件的不同的r的个数(用十进制数表示),要求最高位不得为0,各数字之间不得插入数字以外的其他字符(例如空格、换行符、逗号等)。
(提示:作为结果的正整数可能很大,但不会超过200位)
输入输出样例
3 7
36
说明
NOIP 2006 提高组 第四题
题解:
题目中的那个从另一角度分析就已经蕴含了这个题的基本思路。就以题目的例子为例,长度为7位的01字串按3位一段就这样分:0 000 000。其中除了首段,每段都小于(111)2,也即小于2k,而首段自然是小于2w%k(对于w%k为0时也成立)了。
如果首段为0,则当这个2k进制数位数分别为2、3、...、[n/k]时,如果用b_max表示2k,对应的解的个数分别为C[b_max-1][2]、C[b_max-1][3]、...、C[b_max-1][n/k](C[i][j]表示从i个数里选j个构成一组组合)。
如果首段不为0,设首段为x,则解就有c[b_max-x-1][n/k]个。
这样,求解的个数就搞定了,剩下的活就是高精了。求组合数可以用这个公式:C[n][m]=C[n-1][m-1]+C[n-1][m],这样高精就只用加法了。
总结:answer=C(2^k-1,I)(2<=I<=w div k)+C(2^k-i-1,w div k)(1<=I<=2^(w mod k-1))
AC代码:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int k,w,ans[220],f[1050][250]; void add(int a[],int b[]){ int last=0; a[0]=max(a[0],b[0]); for(int i=1;i<=a[0];i++){ a[i]+=b[i]+last; last=a[i]/10; a[i]%=10; } if(last>0) a[++a[0]]=last; } int main(){ scanf("%d%d",&k,&w); if(w<=k) {printf("0\n");return 0;} int first,bitmax,lenth; bitmax=(1<<k)-1; if(w%k==0){ first=bitmax; lenth=w/k-1; } else{ first=(1<<(w%k))-1; lenth=w/k; } f[1][0]=1; f[1][1]=1; ans[0]=0; for(int i=1;i<=bitmax;i++){ for(int j=i+1;j>=1;j--) add(f[j],f[j-1]); if(i>=bitmax-first&&i<bitmax) add(ans,f[lenth+1]); } for(int i=2;i<=lenth;i++) add(ans,f[i+1]); for(int i=ans[0];i;i--) printf("%d",ans[i]); printf("\n"); return 0; }