1152 细胞分裂

1152 细胞分裂

 

2009年NOIP全国联赛普及组

 时间限制: 1 s

 空间限制: 128000 KB

 题目等级 : 黄金 Gold

题解

 

 

 

题目描述 Description

Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家。现在，他正在为一个细胞实验做准备工作：培养细胞样本。
Hanks 博士手里现在有N 种细胞，编号从1~N，一个第i 种细胞经过1 秒钟可以分裂为Si 个同种细胞（Si 为正整数）。现在他需要选取某种细胞的一个放进培养皿，让其自由分裂，进行培养。一段时间以后，再把培养皿中的所有细胞平均分入M 个试管，形成M 份样本，用于实验。Hanks 博士的试管数M 很大，普通的计算机的基本数据类型无法存储这样大的M 值，但万幸的是，M 总可以表示为m1 的m2 次方，即M = m1^ m2 ，其中m1，m2 均为基本数据类型可以存储的正整数。
注意，整个实验过程中不允许分割单个细胞，比如某个时刻若培养皿中有4 个细胞，Hanks 博士可以把它们分入2 个试管，每试管内2 个，然后开始实验。但如果培养皿中有5个细胞，博士就无法将它们均分入2 个试管。此时，博士就只能等待一段时间，让细胞们继续分裂，使得其个数可以均分，或是干脆改换另一种细胞培养。
为了能让实验尽早开始，Hanks 博士在选定一种细胞开始培养后，总是在得到的细胞“刚好可以平均分入M 个试管”时停止细胞培养并开始实验。现在博士希望知道，选择哪种细胞培养，可以使得实验的开始时间最早。

输入描述 Input Description

共有三行。
第一行有一个正整数 N，代表细胞种数。
第二行有两个正整数 m1，m2，以一个空格隔开， m1^ m2 即表示试管的总数M。
第三行有 N 个正整数，第i 个数Si 表示第i 种细胞经过1 秒钟可以分裂成同种细胞的个数。

输出描述 Output Description

共一行，为一个整数，表示从开始培养细胞到实验能够开始所经过的最少时间（单位为秒）。
如果无论 Hanks 博士选择哪种细胞都不能满足要求，则输出整数-1。

样例输入 Sample Input

1
2 1
3

样例输出 Sample Output

-1

数据范围及提示 Data Size & Hint

经过 1 秒钟，细胞分裂成3 个，经过2 秒钟，细胞分裂成9 个，……，可以看出无论怎么分裂，细胞的个数都是奇数，因此永远不能分入2 个试管。

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NOIP全国联赛普及组 大陆地区 2009年

题解：

唯一分解定理

算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1a1P2a2P3a3......Pnan，这里P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。最早证明是由欧几里得给出的，现代是由陈述证明。此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。

AC代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
#define N 10010
#define ll long long
int n,m,t,ans,mz,minn=0x7fffffff;
ll s[N];
int hash[N];
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    if(m==1){printf("0");return 0;}
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&s[i]);
    int i=2,j;
    while(m!=1){
        while(m%i==0) m/=i,hash[i]++;
        if(i>mz) mz=i;
        hash[i++]*=t;
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        int maxn=0;
        for(j=2;j<=mz;j++){
            if(!hash[j]) continue;
            int js=0;
            while(s[i]%j==0) s[i]/=j,js++;
            if(!js){maxn=0x7fffffff;break;}
            if((hash[j]-1)/js>maxn) maxn=(hash[j]-1)/js;
        }
        if(maxn<minn) minn=maxn,ans=maxn;
    }
    printf("%d",ans?ans+1:-1);
    return 0;
}