1172 Hankson 的趣味题[数论]

1172 Hankson 的趣味题

 

2009年NOIP全国联赛提高组

 时间限制: 1 s

 空间限制: 128000 KB

 题目等级 : 黄金 Gold

题解

 

 

 

题目描述 Description

Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现
在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现
在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公
倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整
数x 满足：
1． x 和a0 的最大公约数是a1；
2． x 和b0 的最小公倍数是b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的
x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮
助他编程求解这个问题。

输入描述 Input Description

第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。接下来的n 行每
行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入
数据保证a0 能被a1 整除，b1 能被b0 整除。

输出描述 Output Description

每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出0；
若存在这样的 x，请输出满足条件的x 的个数；

样例输入 Sample Input

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

样例输出 Sample Output

6
2

数据范围及提示 Data Size & Hint

【说明】
第一组输入数据，x 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。
第二组输入数据，x 可以是48、1776，共有2 个。
【数据范围】
对于 50%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且n≤2000。

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大陆地区 NOIP全国联赛提高组 2009年

 

原文：根据题意可以推出

数论区
lcm(x,b0)=x∗b0/gcd(x,b0)=b1 
=>b1∗gcd(x,b0)=x∗b0 
=>gcd(x,b0)=x∗b0/b1 
=>gcd(b1/b0,b1/x)=1 

到这一步发现，只需枚举b1的因数就行了。
同时加上判断条件：

int pd(int x){
    if(x%a1!=0) return 0;
    return gcd(x/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/x)==1;
}

总之想AC，要么使劲敲代码模拟，要么动脑子使劲想。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,a0,a1,b0,b1;
long long ans;
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int pd(int x){
    if(x%a1!=0) return 0;
    return gcd(x/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/x)==1;
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        ans=0;
        scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        for(int i=1;i*i<=b1;i++){
            if(b1%i==0){
                ans+=pd(i);
                if(b1!=i) ans+=pd(b1/i);
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}