清华集训2016 组合数问题[NOIP2016组合数加强版]
#275. 【清华集训2016】组合数问题
组合数 $C_n^m$ 表示的是从 $n$ 个物品中选出 $m$ 个物品的方案数。举个例子，从 $(1,2,3)$ 三个物品中选择两个物品可以有 $(1,2),(1,3),(2,3)$ 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 $C_n^m$ 的一般公式：
$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$
其中 $n!=1\times2\times\cdots\times n$。（额外的，当 $n=0$ 时， $n!=1$）
小葱想知道如果给定 $n,m$ 和 $k$，对于所有的 $0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left ( i, m \right )$ 有多少对 $(i,j)$ 满足 $C_i^j$ 是 $k$ 的倍数。
答案对 $10^9 + 7$ 取模。
输入格式
第一行有两个整数 $t,k$，其中 $t$ 代表该测试点总共有多少组测试数据。
接下来 $t$ 行每行两个整数 $n,m$。
输出格式
$t$ 行，每行一个整数代表所有的 $0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left ( i, m \right )$ 中有多少对 $(i,j)$ 满足 $C_i^j$ 是 $k$ 的倍数。
样例一
input
1 2 3 3
output
1
explanation
在所有可能的情况中，只有 $C_2^1=2$ 是 $2$ 的倍数。
样例二
input
2 5 4 5 6 7
output
0 7
样例三
input
3 23 23333333 23333333 233333333 233333333 2333333333 2333333333
output
851883128 959557926 680723120
限制与约定
对于 $20\%$ 的测试点，$1\leq n,m\leq 100$；
对于另外 $15\%$ 的测试点，$n\leq m$；
对于另外 $15\%$ 的测试点， $k=2$；
对于另外 $15\%$ 的测试点， $m\leq 10$；
对于 $100\%$ 的测试点， $1\leq n,m\leq 10^{18},1 \leq t,k\leq 100$，且 $k$ 是一个质数。
时间限制：$1\texttt{s}$
空间限制：$512\texttt{MB}$
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数据范围很大，并且涉及的是求值，没法用矩阵乘法考虑。考虑用数位DP来解决。
发现\(k\)的限制是，\(k\)是一个质数，那么在大组合数模小质数的情况下可以考虑使用卢卡斯定理。
卢卡斯定理写出来是\(Lucas(n,m)=Lucas(n/K,m/K)*Lucas(n\%K,m\%K)\)
LUCAS定理我们可以这样表示：
\(C_n^m \equiv \prod C_{a_i}^{b_i}\)
（ai与bi为K进制拆分后的两个数的每一位数，若一个数的位数不足另一个数，则以前导零填充）
显然只要有任何一个\(Lucas(n\%K,m\%K)=C_{n\%K}^{m\%K}\)是\(K\)的倍数那么当前数就会是\(K\)的倍数。因为\(K\)是质数，并且组合数的上下都小于\(K\)，因此这个值是\(K\)的倍数的时候，当且仅当\(m\%K>n\%K\)。那么整个式子我们理解为，把\(n,m\)按照\(K\)进制分解，当且仅当存在至少一位上有\(m\)的这一位大于\(n\)的这一位成立。分解为\(K\)进制之后最多\(logn\)大概是\(60\)位，可以大力考虑\(dp\)。
设\(f[i][0/1][0/1][0/1][0/1]\)表示当且考虑到了第\(i\)位，第一个数是否卡在上界\(n\)，第二个数是否卡在上界\(m\)，第二个数是否卡在上界第一个数，前面是否至少已经存在一位满足第二个数大于第一个数了。
#include<stdio.h> #include<string.h> #include<iostream> using std::max; #define m(x,t) memset(x,t,sizeof x); const int N=70,mod=1e9+7; int T,K,cnta,cntb,a[N],b[N],f[N][2][2][2][2];long long n,m; int dfs(int cur,bool flg,bool fl,bool fa,bool fb){ int &res=f[cur][flg][fl][fa][fb]; if(~res) return res; if(!cur) return res=flg; res=0; int upa=fa?K-1:a[cur],upb=fb?K-1:b[cur]; for(int i=0;i<=upa;i++) for(int j=0;(j<=i||fl)&&j<=upb;j++) res=(res+dfs(cur-1,flg||i<j,fl||i>j,fa||i<upa,fb||j<upb))%mod; return res; } int main(){ for(scanf("%d%d",&T,&K);T--;){ scanf("%lld%lld",&n,&m); m(f,-1);m(a,0);m(b,0);cnta=cntb=0; for(;n;a[++cnta]=n%K,n/=K); for(;m;b[++cntb]=m%K,m/=K); printf("%d\n",dfs(max(cnta,cntb),0,0,0,0)); } return 0; }
