洛谷2723 丑数（简单数学推导）
P2723 丑数 Humble Numbers
题目背景
对于一给定的素数集合 S = {p1, p2, ..., pK},考虑一个正整数集合，该集合中任一元素的质因数全部属于S。这个正整数集合包括，p1、p1*p2、p1*p1、p1*p2*p3...(还有其它)。该集合被称为S集合的“丑数集合”。注意：我们认为1不是一个丑数。
题目描述
你的工作是对于输入的集合S去寻找“丑数集合”中的第N个“丑数”。所有答案可以用longint(32位整数)存储。
补充：丑数集合中每个数从小到大排列，每个丑数都是素数集合中的数的乘积，第N个“丑数”就是在能由素数集合中的数相乘得来的（包括它本身）第n小的数。
输入输出格式
输入格式：
第 1 行: 二个被空格分开的整数:K 和 N ， 1<= K<=100 ， 1<= N<=100,000.
第 2 行: K 个被空格分开的整数:集合S的元素
输出格式：
单独的一行，输出对于输入的S的第N个丑数。
输入输出样例
说明
题目翻译来自NOCOW。
USACO Training Section 3.1
题目背景
对于一给定的素数集合 S = {p1, p2, ..., pK},考虑一个正整数集合，该集合中任一元素的质因数全部属于S。这个正整数集合包括，p1、p1*p2、p1*p1、p1*p2*p3...(还有其它)。该集合被称为S集合的“丑数集合”。注意：我们认为1不是一个丑数。
题目描述
你的工作是对于输入的集合S去寻找“丑数集合”中的第N个“丑数”。所有答案可以用longint(32位整数)存储。
补充：丑数集合中每个数从小到大排列，每个丑数都是素数集合中的数的乘积，第N个“丑数”就是在能由素数集合中的数相乘得来的（包括它本身）第n小的数。
输入输出格式
输入格式：
第 1 行: 二个被空格分开的整数:K 和 N ， 1<= K<=100 ， 1<= N<=100,000.
第 2 行: K 个被空格分开的整数:集合S的元素
输出格式：
单独的一行，输出对于输入的S的第N个丑数。
输入输出样例
说明
题目翻译来自NOCOW。
USACO Training Section 3.1
题目背景
对于一给定的素数集合 S = {p1, p2, ..., pK},考虑一个正整数集合，该集合中任一元素的质因数全部属于S。这个正整数集合包括，p1、p1*p2、p1*p1、p1*p2*p3...(还有其它)。该集合被称为S集合的“丑数集合”。注意：我们认为1不是一个丑数。
题目描述
你的工作是对于输入的集合S去寻找“丑数集合”中的第N个“丑数”。所有答案可以用longint(32位整数)存储。
补充：丑数集合中每个数从小到大排列，每个丑数都是素数集合中的数的乘积，第N个“丑数”就是在能由素数集合中的数相乘得来的（包括它本身）第n小的数。
输入输出格式
输入格式：
第 1 行: 二个被空格分开的整数:K 和 N ， 1<= K<=100 ， 1<= N<=100,000.
第 2 行: K 个被空格分开的整数:集合S的元素
输出格式：
单独的一行，输出对于输入的S的第N个丑数。
输入输出样例
说明
题目翻译来自NOCOW。
USACO Training Section 3.1
【分析】
由题可知，当前产生的第i个丑数f[i]，是之前的某个丑数*a[j]，
某个丑数*a[j]需要>f[i-1],而且要尽可能的小。
于是我们就可以枚举j，然后找到最小的一个丑数使那个丑数*a[j]>f[i-1];
很容易发现满足条件的丑数x*a[j]>f[i-1]，一定满足条件，x*a[j]>f[i-2];于是我们就可以从满足x*a[j]>f[i-2]的丑数x的位置往后枚举，找到满足条件x*a[j]>f[i-1]的丑数。
然后和min比较 ,更新f[i],最后f[n]即为答案
【代码】
#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; const int N=1e5+5; int n,k,a[N],s[N],f[N]={1};//假设f[0]=1是丑数 int main(){ scanf("%d%d",&k,&n); for(int i=1;i<=k;i++) scanf("%d",a+i); for(int i=1;i<=n;i++){ int mn=2e9; for(int j=1,t;j<=k;j++){ //s[j]存的是a[j]至少与第几小丑数相乘才能得到一个比f[i-1]大的丑数 for(;(t=a[j]*f[s[j]])<=f[i-1];s[j]++); mn=min(mn,t); } f[i]=mn; } printf("%d",f[n]); return 0; }
