动态规划入门问题：猴子与香蕉

动态规划入门问题猴子与香蕉

一、猴子与香蕉

• 题目描述
  一组研究人员正在设计一个测试猴子IQ的实验。他们把香蕉吊在屋顶上，同时给猴子提供了砖块。如果猴子够聪明，它会把砖块一个个叠起来做成一个塔，然后爬上去拿到自己喜爱的食物。
  研究人员有n种不同的砖块，而且每种砖块都是取之不尽的。每种砖块都是长方体，第i种砖块的大小是（xi，yi，zi）。砖块能够翻转，可以将任意两边当作底面，剩下的那边作为高。
  他们想确定用砖块搭成的最高塔，能否帮助猴子够着屋顶。问题是，在叠塔过程中，要放的那块砖，其底面两条边都要小于下面那块砖的两条边，这是为了留个空间给猴子踩脚。
  例如，底面相同尺寸的砖块不能相叠。
  现给定砖块，请计算猴子能够叠塔的最大高度。
• 输入
  输入包含多组测试数据。每组输入的第一行是一个整数n，表示砖块的种类数。n的最大值是30。
  接着n行，每行输入三个整数xi，yi和zi。
  当n=0时，输入结束。
• 输出
  对于每组输入，输出一行：测试例编号case（从1开始编号），塔能够达到的最大高度height。
  输出格式为：“Case case: maximum height = height”。
• 样例输入

1
10 20 30
2
6 8 10
5 5 5
7
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
5
31 41 59
26 53 58
97 93 23
84 62 64
33 83 27
0

• 样例输出

Case 1: maximum height = 40
Case 2: maximum height = 21
Case 3: maximum height = 28
Case 4: maximum height = 342

二、解题思路

• 动态规划问题的关键就是找到递推表达式
• 对于每一个砖都能以一边为高，另外两边为长和宽。从现实的角度出发我们在垒东西的时候是先将面大的放下边，然后再找稍微小点的放上面，最后没法再放的时候就达到了最大的高度。最上层的砖的长和宽都是比下层的长和宽小的。
• 对所有的砖按长从小到大排列得到inb[3*n]，inb[i]上能放的砖为inb[j]（j一定小于i）。设maxh[i]为一个砖所能达到的最大高度，则递推表达式为：maxh[i]=maxh[j]（j<i）+当前砖高。

三、代码示例

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef struct
{
    int h;      //砖高
    int c, k;   //砖的长和宽
} zhuan;        //用来存储砖以一条边为高的信息
void ck(zhuan &a,int b,int c)
{//完善砖a的长宽信息
    if(b>c)
    {
        a.c = b;
        a.k = c;
    }
    else
    {
        a.c = c;
        a.k = b;
    }
}
int maximum(int n)
{//读取n块砖并返回最大高
    int maxhigh=0, N = 3 * n;
    zhuan zh[N];
    for (int i = 0; i < N;i=i+3)
    {
        cin >> zh[i].h >> zh[i + 1].h >> zh[i + 2].h;
        ck(zh[i], zh[i + 1].h, zh[i + 2].h);
        ck(zh[i + 1], zh[i].h, zh[i + 2].h);
        ck(zh[i + 2], zh[i].h, zh[i + 1].h);
    }
    int inb[N], maxh[N];             //maxh[]用来存算出来的砖最大高度
    for (int i = 0; i < N;i++){inb[i] = i;} //inb为所有砖的序号
    sort(inb, inb + N, [&](int a, int b) { return zh[a].c < zh[b].c;} );//按砖的长对砖的序号升序排序
    
    int j, tmax, c, k;
    for (int i = 0; i < N;i++)
    {
        maxh[i] = zh[inb[i]].h;
        c = zh[inb[i]].c;
        k = zh[inb[i]].k;
        tmax = 0;
        for (j = 0; j < i;j++)
        {
            if (zh[inb[j]].c < c && zh[inb[j]].k < k)
                if(maxh[j]>tmax)
                    tmax = maxh[j];//算出可在当前砖上放的最大高度
        }
        maxh[i] += tmax;
        if(maxh[i]>maxhigh)
            maxhigh = maxh[i];
    }
    return maxhigh;
}

int main()
{
    int n, zu[1000], z = 0; //zu[]存每组信息,z表示存了z组,从在[1]开始存

    cin >> n;
    while(n)
    {
        zu[++z] = maximum(n);
        cin >> n;
    }

    for (int i = 1; i <= z;i++)
    {
        printf("Case %d: maximum height = %d\n",i,zu[i]);
    }
    system("pause");
    return 0;
}