闲话 8.23

闲话 8.23

起因是 Rolling_star 在考古 IMO 时发现了这样一道预选题：

给出序列 $\{a_n\}$ 满足：

$$2^n=\sum_{d|n}{a_d}$$

求证：

$$n|a_n$$

我们先做一遍底幂轮换 （$Swap$ $the$ $base$ $number$ $with$ $the$ $power$ $wheel$）:

$$2^d=\sum_{n|d}a_n$$

然后再指数降阶（$Exponential$ $reduction$）:

$$\bm{2\times d=\sum_{n|d}{a_n}}$$

接着进行直角反演（$Rotate$ $the$ $formula$ $at$ $right$ $angles$ $before$ $performing$ $calculations$）

$$2\times d=\frac{\omega d}{n}\times a_n$$

显然消去 $d$ ：

$$\frac{2}{\omega}=\frac{a_n}{n}$$

显然 $\omega$ 是角速度，这是我们上文在使用直角反演时所产生的，是 $O(\omega)$ 级别的，所以有

$$\displaystyle\frac{2}{\omega}=\frac{2}{\Theta(\log n)}=\frac{2/\log n}{O()}=\frac{2/\log n}{(O)}=\frac{4}{(O_2)\log n}=4O_{2\log n}\uparrow$$

这样，我们就得到了 $4\text{ mol}$ 的 $O_{2\log n}$，

$$\begin{aligned}&O_{2\log n}\xlongequal[\text{催化剂}]{\Delta}\log n\cdot O_2\\&O_{2\log n}\xlongequal[\mathrm{B_2 O_2},\mathrm{B_{20}},\mathrm{K_8He}]{\Theta(2^{n/2})\ {}^{\circ}\text{C}}2\cdot O_{\log n}\end{aligned}$$

联立可以得到 $2/\log n=O_2/O_{\log n}$，两边取对数：

$$\begin{aligned}&\log 2-\log\log n=2\log O-n\log O\\\implies&\log 2-\log\omega=(2-n)\log O\end{aligned}$$

在 word-RAM model 下可以认为 $\omega=\Theta(1)$，那么可以得到

$$(2-n)\log O=O(1)=O(n)$$

消去括号及 $O$，就可以得到 $2-n\log=n$，移项即得 $2^{2/n}=2\cdot2^{\log}=2$，解得 $n=2$，代回 $\omega$ 的渐进式：

$$\omega=O(\log n)=O(1)$$

可得：

$$n|a_n$$

$$\mathcal{Q.E.D}$$