PER

PER-Permutation P3477

• 题目大意：

  一个元素个数为 $n$ 的多重集的一个排列和 $m$ ，求这个排列的字典序排名取模 $m$ 。

• 思考：

  • 首先，我们显然能够根据题意想到 康托展开，但它们之间当然是有区别的（这不是废话么） ， 本题的排列是一个可重的，范围不定的，不连续的无序排列。
  • 知道了区别，下一步呢？我们仍可以依照康托展开的思想，对排列的每一位进行考虑。
  • 本题的任意模数并不十分友好，因为在这种意义下逆元并不存在，因此考虑将模数分解，对每一个互质于当前答案贡献的模数分别计算，最后合并即可。

• 实现：

  • 式子：

    • $$ans=\sum^n_{i=1}{\frac{val_{a_i}(n-i)!}{\prod^{col_{a_i}}_j{cnt_j!}}}$$

    • 式子中的 $a$ 为原排列，$val_i$ 表小于 $a_i$ 的，且未访问过的数的个数，$col_i$ 为原排列中，从 $i$ 到 $n$ 的数的种类数，$cnt$ 则是一个桶。

  • 转化：

    • 因为模数的不确定性，导致逆元无法求，因此我们先将模数 $p$ 分解为质因数 $p_i$ ，再把每一个 $ans_i$ 中存在的 $p$ 的因数消去，这样也就保证了 $ans_i$ 与 $p$ 互质，逆元也就十分好求了。
    • $ans_i$ 是分数的形式，因此我们要对分子分母分别消去 $p$ 的质因子，最后我们当然要把消去的质因子再乘回来，而 $ans_i$ 一定是个整数，也就是说，对于一个 $p_i$ ，分子中的数量一定比分母中的大，那么消去的（或者说需要乘回来的）质因子的形式也就是 ${p_i}^k(k\in \mathbb{Z})$ 。
    • 我们需要阶乘，而任意模数意义下的阶乘需要与当前答案贡献（也就是 $ans_i$ ）消去的质因子保持一致，预处理显然不现实，因此我们倒序枚举 $i$ ，处理分子分母的同时累计相乘，也就同时求出了 $(n-i)!$ 与 $cnt_j!$ 。
    • 接下来就是数据结构优化一下，不再赘述。

• 注意：

  • 要记得消除对 $val$ 的影响，因为它不具有累积效应。
  • 每走一步，先累积 $cnt$ ，再消除模数质因数。

• 代码（非常丑陋）：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int N=10000010;
int n,p,x,y,maxn(0);
int son(1),mum(1),ans(0);
int cntson[N],cntmum[N];
int a[N],cnt[N],pmod[N],dat[N<<2];
int query(int pos,int l,int r,int ll,int rr){
  	if(!rr) return 0;
  	if(ll<=l&&r<=rr) return dat[pos];
  	int mid(l+r>>1),ans(0);
  	if(ll<=mid) ans+=query(pos<<1,l,mid,ll,rr);
  	if(mid<rr) ans+=query(pos<<1|1,mid+1,r,ll,rr);
  	return ans;
}
void modify(int pos,int l,int r,int x){
  	if(l==r) {dat[pos]++;return;}
  	int mid(l+r>>1);
  	if(x<=mid) modify(pos<<1,l,mid,x);
  	else modify(pos<<1|1,mid+1,r,x);
  	dat[pos]=dat[pos<<1]+dat[pos<<1|1];
}
int pow(int a,int k,int p){
  	int ans(1);
  	for(;k;a=a*a%p,k>>=1) if(k&1) ans=ans*a%p;
  	return ans;
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
  	if(!b){x=1,y=0;return;}
  	exgcd(b,a%b,y,x),y=(y-(a/b)*x%p+p)%p;
}
void updateson(int x){
  	if(!x) return;
  	for(int i=1;i<=pmod[0];++i){
  		while(x%pmod[i]==0) {cntson[i]++,x/=pmod[i];}
  	}
  	son=son*x%p;
}
void updatemum(int x){
  	if(!x) return;
  	for(int i=1;i<=pmod[0];++i){
  		while(x%pmod[i]==0) {cntmum[i]++,x/=pmod[i];}
  	}
  	mum=mum*x%p;
}
int update(int x,int pos){
  	if(!x) return 0;
  	for(int i=1;i<=pmod[0];++i){
  		while(x%pmod[i]==0) cntson[i]+=pos,x/=pmod[i];
  	}
  	return x;
}
#undef int
int main(){
  	#define int long long
  	scanf("%lld%lld",&n,&p);
  	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&a[i]),maxn=std::max(maxn,a[i]);
  	int mod=p;
  	for(int i=2;i<=std::sqrt(mod);++i){
  		if(mod%i) continue;
  		pmod[++pmod[0]]=i;
  		while(!(mod%i)) mod/=i;
  	}
  	if(mod!=1) pmod[++pmod[0]]=mod;
  	for(int i=n;i>=1;--i){
  		int aa(1);
  		++cnt[a[i]];
  		updatemum(cnt[a[i]]);
  		updateson(n-i);
  		modify(1,1,maxn,a[i]);
  		int nn(query(1,1,maxn,1,a[i]-1)),tem;
  		tem=update(nn,1);
  		for(int j=1;j<=pmod[0];++j) 
  			aa=aa*pow(pmod[j],std::abs(cntmum[j]-cntson[j]),p)%p;
  		exgcd(mum,p,x,y);
  		x=(x%p+p)%p;
  		aa=aa*(tem*son%p)%p*x%p;
  		update(nn,-1);//消除影响
  		ans=(ans+aa)%p;
  	}
  	std::cout<<((ans+1)%p+p)%p;
}