放棋子

放棋子

• 看到题目后显然先想到 $DP$ ,但是 $N\ge200$ ，那就肯定不行了。

• 题目理解：障碍与棋子一样，都是每行，列只有一个，因此，我们思考这样一个问题：

$$\begin{matrix} 1&0&0&0&&&&&&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&&&\implies&&&0&1&0&0\\ 0&1&0&0&&&&&&0&0&1&0\\ 0&0&0&1&&&&&&0&0&0&1 \end{matrix}$$

    这两种情况的方案数有何区别？

• 答案是并无区别：显然第一种矩阵经过行与行（或列于列）的变换就能转化为第二种，而每一行每一列都会有一个障碍，因此，每一种矩阵都能转化为第二种，转化后每一行（或列）的方案数不变，总方案数当然也不变。

• 因此我们不考虑输入的矩阵，直接转化为第一种，认为障碍均在对角线上，于是，原问题就成了：在一个对角线不可放的棋盘放棋子，且每一列，每一行均只有一枚棋子。

• 进一步转化，问题就成了：一个数列 $a_n(a_i\not=i)$ 求方案数，这就是一个裸的错排问题了，例题：信封问题，没做过的同学可以自行了解一下，这里直接给出递推式：

$$\begin{aligned} f_1&=0\\f_2&=1\\f_n&=(n-1)\times (f_{n-1}+f_{n-2}) \end{aligned}$$

• 考虑到 $f_n$ 的增长速率极快，需要高精度辅助实现。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll p=10000000000000000;
const int len=100010;
ll f[201][len],tem,pos;
void work(int n){
    for(int i=1;i<=len;++i){
        tem=f[n-1][i]+f[n-2][i];
        f[n][i]=(tem+pos)%p;
        pos=tem/p;
    }
    for(int i=1;i<=len;++i){
        tem=f[n][i]*(n-1);
        f[n][i]=(tem%p+pos);
        pos=tem/p;
    }
}
int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j){
            int a;scanf("%d",&a);
        }没什么用的输入
    if(n==1) return puts("0"),0;
    if(n==2) return puts("1"),0;
    f[1][1]=0;f[2][1]=1;
    for(int i=3;i<=n;++i) work(i);
    int len1(100010);
    while(f[n][len1]==0&&len1>1) len1--;
    printf("%lld",f[n][len1]);
    while(--len1) printf("%016lld",f[n][len1]);
}

码风丑陋，见谅！