数论学习笔记

目录

0. 前言

1. 数论基础

   1.1 整除

   1.2 带余除法，同余

2. 质数

   2.1 唯一分解定理

   2.2 质数筛（线性筛）

   2.3 欧拉函数

3. 最大公因数/最小公倍数

   3.1 辗转相除法

   3.2 裴蜀定理

4. 线性同余方程

   4.1 费马小定理

   4.2 欧拉定理

   4.3 逆元

   4.4 求解线性同余方程

   4.5 中国剩余定理

5. 威尔逊定理

6. 卢卡斯定理

前言

数论太差了，恶补一下。

学一点更一点。

数论基础

整除

设 \(a\in \N^+\) ，\(b\in \Z\) ，若存在整数 \(q\) 使得 \(b=a\times q\) ，则称 \(b\) 可被 \(a\) 整除，记作 \(a|b\) ，称 \(a\) 为 \(b\) 的因数，\(b\) 为 \(a\) 的倍数。

整除的性质：

1. 若 \(a|b\) 且 \(b|c\) ，则 \(a|c\)。
2. 若 \(a|b\) 且 \(a|c\) ，则满足 \(a|(b\times x+c\times y)\) ，其中 \(b,c\) 为整数。
3. 若 \(m \neq 0\)，则 \(a\,|\,b \iff am\,|\,bm\)
4. 若整数 \(x,y\) 满足 \(ax+by=1\) 且 \(a\,|\,n,b\,|\,n\) ，则 \(a\times b\,|\,n\)
5. 若 \(b=k\times d+c\) ，则 \(d\,|\,b \iff c\,|\,b\)

带余除法，同余

若存在整数 \(a,b\)，\(d\) 为给定的整数 ，满足 \(b=q\times a+r,d\leq r <d+|a|\) ，则称 \(r\) 为 \(b\) 除以 \(a\) 的余数。

也可以记作 \(b\equiv r\,(\text{mod}\,\,a)\) 。意味 \(b\) 与 \(r\) 在取模 \(a\) 意义下相等。

同余的性质：

1. \(a\equiv b\pmod m,b\equiv c\pmod m\) ，则 \(a\equiv c\pmod m\)
2. \(a\equiv b\pmod m\) 则 \(a+c\equiv b+c \pmod m\)
3. \(a\equiv b\pmod m\) 且 \(c\equiv d\pmod m\) ，则 \(a\times c\equiv b\times d\pmod m\)
4. \(a\times b \equiv k=\) \((a\bmod k)\times(b\bmod k)\)
5. 若 \(\gcd(p,q)=1, a\equiv b\pmod p,a\equiv b\pmod q\) ，则 \(a\bmod pq=b\)

质数

设整数 $p\neq 0,\pm1 $，且 \(p\) 没有除 \(1\) 外的其它因数，则称 \(p\) 为质数。

任何一个大于 \(3\) 的质数都可以表示为 \(6k\pm 1\) 的形式

唯一分解定理

引理：若质数 \(p\,|\,ab\) 则 \(p\,|\,a\) 或 \(p\,|\,b\) 满足其一。

设正整数 \(a\) ，则必有：

\[a=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n} \]

其中 \(p_i\) 为质数，\(e_i\) 为该质数的次数。

在不计次序的情况下，该表示唯一。

质数筛（线性筛）

我们记 \(f_i\) 标记 \(i\) 是否为质数，\(p_i\) 为已经筛出来的质数。

对于每一个筛出来的质数，我们将它乘上之前筛出的每一个质数，即可筛出所有质数。

为了优化时间，当我们发现这个数曾被筛过便直接跳出循环。

时间复杂度：\(O(n)\)

void work(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!f[i])
            p[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        {
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}

欧拉函数

定义：\(\varphi(n)=\sum_{i-1}^n [\gcd(i,n)=1]\)。

性质：

1. 当 \(n\) 为质数时，\(\varphi(n)=n-1\)。
2. \(\varphi(ab)=\varphi(a)\times\varphi(b)\)
3. 当 \(n\) 为奇数时，\(\varphi(n)=\varphi(2n)\)
4. \(n=\sum_{d|n} \varphi(d)\)
5. 将 \(n\) 唯一分解后，\(n=\prod p_i^{e_i}\) 则 \(\varphi(n)=n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}\)

线性筛求欧拉函数：

设 \(p_1\) 为 \(n\) 的最小质因子，则：

当 \(\frac{n}{p_1}\bmod p_1=0\) 时，\(\varphi(n)=p_1\times \varphi(\frac n{p_1})\)

否则 \(\varphi(n)=(p_1-1)\times\varphi(\frac n{p_1})\)

所以我们可以直接写出：

int phi[N],f[N],p[N],tot;
void work(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!f[i])
        {
            p[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;j++)
        {
            f[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)
            {
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            else phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
        }
    }
}

最大公约数

定义：对于两个整数 \(x,y\) ，他们的最大公约数为他们共有因数中最大的一个，记作 \(\gcd(x,y)\)。

辗转相除法

首先有定理：不妨设 \(a>b,\) \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)\)。

证明：

设 \(a=k\times b+r,r<b\) 。

对于所有的公约数 \(d\)，总满足 \(d\,|\,a,d\,|\,b\)，所以显然 \(d\,|\,k\times b\)。

于是 \(d\,|\,(a-k\times b)\) 。

又因为 \(a-k\times b=r\)

于是可得 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)\) 。

证毕。

代码中我们可以使用递归来实现：

int gcdd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcdd(b,a%b);
}

裴蜀定理

定义： 设 \(a,b\) 为不全为 \(0\) 的整数，存在整数 \(x,y\) 使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\)。

证明：

充分性：

若 \(\gcd(a,b)=d\) ，我们将两边同除 \(d\) ，式子变为 \(a_1x+b_1y=1,\gcd(a_1,b_1)=1\)

我们发现 \(\gcd(a_1,b_1)=\gcd(b_1,r_1)=\gcd(r1,r2)...\gcd(r_{n-1},r_n)=1\)

于是我们发现：

\[a_1=b_1\times k_1+r_1\\ b_1=r_1\times k_2+r_2\\ \cdots\\ r_{n-1}=k_n\times r_n \]

当 \(r_n=1\) 时跳出，可得：

\(r_{n-2}=k_{n}r_{n-1}+1\)

\(r_{n-2}-k_{n}r_{n-1}=1\)

\(r_{n-3}=k_{n-2}r_{n-2}+r_{n-1}\)

\(r_{n-3}-k_{n-1}r_{n-2}=r_{n-1}\)

带入后可得：

\(r_{n-2}-k_{n}(r_{n-3}-k_{n-1}r_{n-2})=1\)

\((k_{n-1}k_n+1)r_{n-2}-k_nr_{n-3}=1\)

发现可以这样消掉 \(r\) 后，得证：\(a_1x+b_1y=1\)

所以存在整数 \(x,y\) 使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\)。

这个过程可以在辗转相除中实现。

线性同余方程

费马小定理

若 \(p\) 为质数，\(\gcd(a,p)=1\) ，则 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。

证明：

我们设 \(A=\{1,2,3,...,p-1\}\)，整数 \(a\) 满足 \(p\nmid a\)。

发现存在以下性质：\(\prod_i^n A_i\equiv \prod_i^n A_i\times a\pmod p\)

所以易得：\(\prod_i^{p-1}A_i\equiv \prod_i^{p-1}A_i\times a\pmod p\)

约去后得：\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。

证毕。

欧拉定理

若 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\)。

证明：与费马定理证明类似，不做赘述。

逆元

定义：若 \(ax\equiv 1\pmod b\)，则 \(x\) 称作 \(a\) 模 \(b\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\)。

费马小定理求逆元：

发现 \(ax\equiv 1\pmod b\)。

\(ax\equiv a^{b-1}\pmod b\)

\(x\equiv a^{b-2}\pmod b\)

于是我们可以直接快速幂求解。

线性求逆元：

对于 \(i\) 的逆元，我们有：

\[1^{-1}\equiv1\pmod p\\ i^{-1}\equiv (p-\frac pi)(p\bmod i)^{-1}(i\neq 1) \]

代码实现：

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
    inv[i]=((p-p/i)*inv(p%i))%p;