线性代数学习笔记

1.行列式

1.1 二阶和三阶行列式

对于一个二元一次方程组：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \\ \end{cases} \]

当其有解时，解为

\[x_1= \frac{b_1 \,a_{22}-a_{12}\,b_2}{a_{11}\,a_{22}-a_{12}\,a_{21}} \qquad x_2= \frac{b_2\,a_{11}-a_{21}\,b_1}{a_{11}\,a_{22}-a_{12}\,a_{21}} \]

注意到分母是由等号左侧 4 个系数构成，我们把这四个数排成 2 行 2 列的形式：

\[a_{11} \quad a_{12} \\ a_{21} \quad a_{22} \]

表示式 \(a_{11} \, a_{22}-a_{12} \, a_{21}\) 称为上面形式所确定的二阶行列式，记作

\[\left | \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right | \]

数 \(a_{ij}\) 表示行列式内第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元。
所以二阶行列式便是 \(a_{11}\,a_{22} - a_{12}\,a_{21}\)

三阶行列式定义类似
对于一个 9 个数排成 3 行 3 列的形式，记作

\[\left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right | \\ \]

\(=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}+a_{12}\,a_{23}\,a_{31}+a_{13}\,a_{21}\,a_{32}-a_{13}\,a_{22}\,a_{31}-a_{12}\,a_{21}\,a_{33}-a_{11}\,a_{23}\,a_{32}\)
上述表明：三阶行列式含 6 项，每项均为不同行不同列的 3 个元素乘积再冠以正负号。
是不是非常简单？

1.2 \(n\) 阶行列式

回到 3 阶行列式上
\( \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right | \\ \)
\(=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}+a_{12}\,a_{23}\,a_{31}+a_{13}\,a_{21}\,a_{32}-a_{13}\,a_{22}\,a_{31}-a_{12}\,a_{21}\,a_{33}-a_{11}\,a_{23}\,a_{32}\)
很容易看出，该式右边的每一项都是三个数的乘积，且这三个数都位于不同的行，不同的列。所以我们可以把每一项写成 \(a_{1p_1}\,a_{2p_2}\,a_{3p_3}\) 的形式。可以发现，这一项每个元素的行标都是 \(123\) ，列标都是 \(p_1p_2p_3\) ，即为 \(1,2,3\) 的排列，这种排列的种数 \(=P_3=6\)，对应该式共有 \(6\) 项。注意到每一项的正负性，我们发现，当列标排列是偶排列时，此项带正号，为奇排列时，带负号。又因为奇排列偶排列是以排列的逆序数为标准的，所以我们便可推出：
令 \(k=\) 该项排列的逆序数
\( \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right | \\ \) \(=\sum_{i=1}^{P_3} (-1)^k\,a_{1p_1}\,a_{2p_2}\,a_{3p_3}\)
推广到一般形式：
令 \(k=\) 该项排列的逆序数
对于行列式
\(D= \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}&... & a_{2n}\\ ~~&&......\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn} \end{array} \right | \\ =\sum_{i=1}^{P_n} (-1)^k\,a_{1p_1}\,a_{2p_2}\,...\,a_{np_n}\)
记作 \(\text{det}(a_{ij})\)。

\(n\) 阶行列式从 \(a_{11}\) 到 \(a_{nn}\) 的连线称作主对角线。
主对角线以上（下）均为 \(0\) 的行列式称为下（上）三角行列式，主对角线上下均为 \(0\) 的行列式称作对角行列式。
这 \(2\) 种特殊的行列式 \(D，D´\) 均等于主对角线上各元素之积。

1.3 行列式的性质

记
\(D= \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}&... & a_{2n}\\ ~~&&......\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn} \end{array} \right |\)

\(D´= \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a_{31}& ... & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & a_{32}&... & a_{n2}\\ ~~&&......\\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} &...& a_{nn} \end{array} \right |\)

称行列式 \(D´\) 称为 \(D\) 的转置行列式。
性质 \(1\)：\(\,\)行列式与它的转置行列式相等。
性质 \(2\)：\(\,\)对换行列式的两行（列），行列式变号。
记 \(r_i , c_i\) 为行列式的第 \(i\) 行，第 \(i\) 列，则对换第 \(i,j\) 行记作 \(r_i↔r_j\)，对换第 \(i,j\) 列记作 \(c_i↔c_j\)。
推论：如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式等于 \(0\)。
性质 \(3\)：\(\,\)行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
第 \(i\) 行（列）乘 \(k\),记作 \(r_i×k\)（或 \(c_i×k\)）。
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
性质 \(4\)：\(\,\)行列式中若有两行（列）元素成比例，则此行列式等于 \(0\)。
性质 \(5\)：\(\,\)行列式的某行等于两数之和，等于这一行分开后的两个行列式之和。
性质 \(6\)：\(\,\)把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

所以对于计算行列式的题，我们可以通过上述性质将需计算的行列式化为上（下）三角行列式，再行计算。

1.4 行列式按行（列）展开

对于一个高次的多项式，我们更喜欢计算低次的多项式。
同理，对于一个高阶的行列式，我们更喜欢计算低阶的行列式。
所以我们引入余子式和代数余子式的概念，来方便我们计算。

在 \(n\) 阶行列式中，把 \((i,j)\) 元 \(a_{ij}\) 所在的行 \(i\) 和列 \(j\) 划去后，所剩下的 \(n-1\) 阶行列式叫做 (i,j) 元 \(a_{ij}\) 的余子式，记作 \(M_{ij}\)。
记 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}\,M_{ij}\)，
\(A_{ij}\) 叫做 \((i,j)\) 元 \(a_{ij}\) 的代数余子式

引理：一个 \(n\) 阶行列式，如果其中第 \(i\) 行所有元素除 \((i,j)\) 元 \(a_{ij}\) 外均为 \(0\) ,那么此行列式等于 \(a_{ij}\) 与它的代数余子式的乘积
即：

\[D=a_{ij}\,A{ij}=(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,M_{ij} \]

定理 \(2\)：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式成绩之和
即：

\[D=\sum^{n}_{k=1}a_{ik}\,A_{ik}=\sum^{n}_{k=1}a_{kj}\,A_{kj}\,\, (i,j∈\{k|1≤k≤n,k∈ \mathbb{N}^+\}) \]

定理 \(2\) 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于 \(0\)。
定理 \(2\) 叫做行列式按行（列）展开法则。利用这一法则并结合行列式的性质可以简化行列式的计算。
将定理 \(2\) 与其推论结合，便可得到代数余子式的重要性质：

\[\sum_{k=1}^{n}a_{ki}\,A_{kj}=\left\{ \begin{aligned} D,\ i=j\\ 0,\ i≠j \end{aligned} \right. \]

或

\[\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\,A_{jk}=\left\{ \begin{aligned} D,\ i=j\\ 0,\ i≠j \end{aligned} \right. \]

可以用以上性质解部分复杂题。

2.矩阵

2.1 线性方程组和矩阵

对于 \(m\) 个未知数 \(n\) 个方程的方程组：

\[\begin{cases} a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\,···+\,a_{1m}\,x_n=b_1 \\ a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\,···+\,a_{2m}\,x_n=b_2 \\ \qquad\qquad\quad\quad ···········\\ a_{n1}\,x_1+a_{n2}\,x_2+\,···+\,a_{nm}\,x_n=b_n \\ \end{cases} \]

将该方程等号左侧各系数取出，排成 \(n\) 行 \(m\) 列的数表，将此述标称作 \(n\) 行 \(m\) 列矩阵，简称 \(n×m\) 矩阵，记作：

\[\bf A= \left ( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}&... & a_{2m}\\ ~~&&......\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nm} \end{array} \right ) \]

\(n×m\) 矩阵 \(\bf A\) 也记作 \(\bf A_{n×m}\) 矩阵。
行数与列数都为 \(n\) 的矩阵称为 \(n\) 阶矩阵或 \(n\) 阶方阵，也记作 \(\bf A_n\)。
矩阵的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素记作 \(\bf A_{ij}\) 或 \(a_{ij}\)。所有 \(n×m\) 阶矩阵构成的集合记作 \( \mathcal{M}_{n \times m}(\R)\) ，特别的，所有 \(n\) 阶矩阵构成的集合记作\( \mathcal{M}_{n}(\R)\)。
只有一行的矩阵称作行矩阵，只有一列的矩阵称作列矩阵。
在 \(n\) 阶矩阵中，\(\mathbf{A}_{ii}\) 称作主对角线。只有主对角线非零的矩阵称作对角矩阵，记作：

\[\mathbf{A}=\text{diag}\{a_1,a_2,a_3,\cdot \cdot \cdot ,a_n\}=\begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \]

特别地，对于主对角线全为 \(1\) 的对角矩阵，我们称作单位矩阵，\(n\) 阶单位矩阵记作 \(\mathbf{E}_n\)。
如果 \(2\) 个矩阵的行数列数相同，则称它们为同型矩阵。
如果 \(2\) 个同型矩阵对应元素相等，即：

\[a_{ij}=b_{ij}\,\,(\forall 1≤ i ≤ n ,1≤j≤m) \]

那么称矩阵 \(\bf A\) 与矩阵 \(\bf B\) 相等，记作：

\[\bf A =\bf B \]

元素都为 \(0\) 的矩阵称作零矩阵，记作 \(\bf O\)。注意不同型的零矩阵不同。
\(n\) 阶行列式 \(|\bf A|\) 的各个元素的代数余子式 \(\mathbf{A}_{ij}\) 所构成的矩阵称为 \(\bf A\) 的伴随矩阵。该阵满足：\(\bf AA^*=A^*A=|A|E_n\)。

2.2 矩阵的运算

矩阵加法
设 \(2\) 个矩阵 \(\bf A,\bf B \in \mathcal{M}_{n \times m}(\R)\)

\[(\mathbf{A} \pm \mathbf{B})_{ij} = \mathbf{A}_{ij} \pm \mathbf{B}_{ij}, \forall 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m \]

\[\mathbf{A} \pm \mathbf{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{11} \pm \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \pm \mathbf{B}_{12} & \cdots & \mathbf{A}_{1m} \pm \mathbf{B}_{1m} \\ \mathbf{A}_{21} \pm \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \pm \mathbf{B}_{22} & \cdots & \mathbf{A}_{2m} \pm \mathbf{B}_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{A}_{n1} \pm \mathbf{B}_{n1} & \mathbf{A}_{n2} \pm \mathbf{B}_{n2} & \cdots & \mathbf{A}_{nm} \pm \mathbf{B}_{nm} \\ \end{pmatrix} \]

数与矩阵相乘
设矩阵 \(\bf A \in \mathcal{M}_{n \times m}(\R),\lambda \in\R\)

\[(\lambda \mathbf{A})_{ij}=\lambda \mathbf{A}_{ij} \]

\[\lambda\mathbf{A}= \begin{pmatrix} \lambda\mathbf{A}_{11}& \lambda\mathbf{A}_{12}& \cdots & \lambda\mathbf{A}_{1m} \\ \lambda\mathbf{A}_{21}& \lambda\mathbf{A}_{22} & \cdots & \lambda\mathbf{A}_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda\mathbf{A}_{n1}& \lambda\mathbf{A}_{n2}& \cdots & \lambda\mathbf{A}_{nm}\\ \end{pmatrix} \]

矩阵与矩阵相乘
设 \(2\) 个矩阵 \(\bf A,\in \mathcal{M}_{n \times s}(\R)\,,\,\bf B \in \mathcal{M}_{s \times m}(\R) \)
\(\bf A\) 为 \(n \times s\) 矩阵，\(\bf B\) 为 \(s \times m\) 矩阵，则他们的乘积是一个 \(n \times m\) 矩阵，记作 \(\bf C=AB\)。

\[\mathbf{C}_{ij}=\sum^{s}_{k=1} a_{ik}\,b_{kj}\,\,(\forall 1 \leq i \leq n,1 \leq j \leq m) \]

\[\mathbf{C} = \begin{pmatrix} \sum_{k = 1}^m \mathbf{A}_{1k} \mathbf{B}_{k1} & \sum_{k = 1}^m \mathbf{A}_{1k} \mathbf{B}_{k2} & \cdots & \sum_{k = 1}^m \mathbf{A}_{1k} \mathbf{B}_{kp} \\ \sum_{k = 1}^m \mathbf{A}_{2k} \mathbf{B}_{k1} & \sum_{k = 1}^m \mathbf{A}_{2k} \mathbf{B}_{k2} & \cdots & \sum_{k = 1}^m \mathbf{A}_{2k} \mathbf{B}_{kp} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k = 1}^m \mathbf{A}_{nk} \mathbf{B}_{k1} & \sum_{k = 1}^m \mathbf{A}_{nk} \mathbf{B}_{k2} & \cdots & \sum_{k = 1}^m \mathbf{A}_{nk} \mathbf{B}_{kp} \\ \end{pmatrix} \]

矩阵转置
对于矩阵 \(\bf A,\in \mathcal{M}_{n \times m}(\R)\)，将矩阵 \(\bf A\) 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 \(\bf A\) 的转置矩阵，记作 \(\mathbf{A}^{\text{T}}\)。

\[\mathbf{A}= \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{11}& \mathbf{A}_{12}& \cdots & \mathbf{A}_{1m} \\ \mathbf{A}_{21}& \mathbf{A}_{22} & \cdots & \mathbf{A}_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{A}_{n1}& \mathbf{A}_{n2}& \cdots & \mathbf{A}_{nm}\\ \end{pmatrix} \]

\[\mathbf{A}^{\text{T}}= \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{11}& \mathbf{A}_{21}& \cdots & \mathbf{A}_{m1} \\ \mathbf{A}_{12}& \mathbf{A}_{22} & \cdots & \mathbf{A}_{m2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{A}_{1n}& \mathbf{A}_{2n}& \cdots & \mathbf{A}_{mn}\\ \end{pmatrix} \]

方阵的行列式
由 \(n\) 阶方阵 \(\mathbf{A}\) 所构成的行列式（元素位置不变），称为方阵 \(\bf A\) 的转置行列式，记作 \(\text{det(A)}\) 或 \(\bf |A|\)
由 \(\bf A\) 所确定的 \(|\bf A|\) 有以下性质：
设 \(\bf A,B\) \(\in \mathcal{M}_{n}(\R),\lambda \in \R\)
\[|\mathbf{A}^{\text{T}}|=|\mathbf{A}| \\ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda ^n|\mathbf{A}|\\ |\bf AB|=|A||B| \]
矩阵的运算律
交换律：

\[\bf A+B=B+A \]

\(\qquad\,\,\)特别的，对于可交换的 \(2\) 个方阵

\[\bf AB=BA \]

\(\qquad\,\,\)结合律:

\[\lambda(\bf AB)=(\lambda\bf A)B=A(\lambda B) \\ \]

\[\bf(AB)C=A(BC) \]

\(\qquad\,\,\)分配律：

\[\bf\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B \]

\[\mathbf{(A+B)}^{\text{T}}=\mathbf{A}^{\text{T}}+\mathbf{B}^{\text{T}} \]

\[\lambda(\mathbf{A}^{\text{T}})=(\lambda \mathbf{A})^{\text{T}} \]

\[(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{C} = \mathbf{A} \mathbf{C} + \mathbf{B} \mathbf{C} \]

\[\mathbf{C}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \mathbf{C} \mathbf{A} + \mathbf{C} \mathbf{B} \]

\[(\mathbf{A} \mathbf{B})^{\text{T}} = \mathbf{B}^{\text{T}} \mathbf{A}^{\text{T}} \]

在努力更了捏

posted @ 2022-08-10 13:54 sheeplittlecloud 阅读(193) 评论(1) 编辑收藏举报

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