行列式
1.1 二阶和三阶行列式
1.2 n n 阶行列式
1.3 行列式的性质
1.4 行列式按行 (列) 展开
矩阵
2.1 线性方程组和矩阵
2.2 矩阵的运算
2.3 逆矩阵
2.4 克莱姆法则
2.5 高斯消元
(学一点更一点qwq)
痛苦啊啊啊啊,本来就是自学还是拿的垃圾教材,现在学不懂了
矩阵部分可能会重写
1.行列式#
1.1 二阶和三阶行列式#
对于一个二元一次方程组:
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 { a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2
当其有解时,解为
x 1 = b 1 a 22 − a 12 b 2 a 11 a 22 − a 12 a 21 x 2 = b 2 a 11 − a 21 b 1 a 11 a 22 − a 12 a 21 x 1 = b 1 a 22 − a 12 b 2 a 11 a 22 − a 12 a 21 x 2 = b 2 a 11 − a 21 b 1 a 11 a 22 − a 12 a 21
注意到分母是由等号左侧 4 个系数构成,我们把这四个数排成 2 行 2 列的形式:
a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22
表示式 a 11 a 22 − a 12 a 21 a 11 a 22 − a 12 a 21 称为上面形式所确定的二阶行列式,记作
∣ ∣ ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ ∣ ∣ | a 11 a 12 a 21 a 22 |
数 a i j a i j 表示行列式内第 i i 行第 j j 列的元。
所以二阶行列式便是 a 11 a 22 − a 12 a 21 a 11 a 22 − a 12 a 21
三阶行列式定义类似
对于一个 9 个数排成 3 行 3 列的形式,记作
∣ ∣
∣ ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ ∣
∣ ∣ | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 |
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32
上述表明:三阶行列式含 6 项,每项均为不同行不同列的 3 个元素乘积再冠以正负号。
是不是非常简单?
1.2 n n 阶行列式#
回到 3 阶行列式上
∣ ∣
∣ ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ ∣
∣ ∣ | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 |
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32
很容易看出,该式右边的每一项都是三个数的乘积,且这三个数都位于不同的行,不同的列。所以我们可以把每一项写成 a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 的形式。可以发现,这一项每个元素的行标都是 123 123 ,列标都是 p 1 p 2 p 3 p 1 p 2 p 3 ,即为 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 的排列 ,这种排列的种数 = P 3 = 6 = P 3 = 6 ,对应该式共有 6 6 项。注意到每一项的正负性,我们发现,当列标排列是偶排列时,此项带正号,为奇排列时,带负号。又因为奇排列偶排列是以排列的逆序数为标准的,所以我们便可推出:
令 k = k = 该项排列的逆序数
∣ ∣
∣ ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ ∣
∣ ∣ | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = ∑ P 3 i = 1 ( − 1 ) k a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 = ∑ i = 1 P 3 ( − 1 ) k a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3
推广到一般形式:
令 k = k = 该项排列的逆序数
对于行列式
D = ∣ ∣
∣
∣
∣ ∣ a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a n n ∣ ∣
∣
∣
∣ ∣ = ∑ P n i = 1 ( − 1 ) k a 1 p 1 a 2 p 2 . . . a n p n D = | a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a n n | = ∑ i = 1 P n ( − 1 ) k a 1 p 1 a 2 p 2 . . . a n p n
记作 det ( a i j ) det ( a i j ) 。
n n 阶行列式从 a 11 a 11 到 a n n a n n 的连线称作主对角线。
主对角线以上(下)均为 0 0 的行列式称为下(上)三角行列式,主对角线上下均为 0 0 的行列式称作对角行列式。
这 2 2 种特殊的行列式 D , D ´ D , D ´ 均等于主对角线上各元素之积。
1.3 行列式的性质#
记
D = ∣ ∣
∣
∣
∣ ∣ a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a n n ∣ ∣
∣
∣
∣ ∣ D = | a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a n n |
D ´ = ∣ ∣
∣
∣
∣ ∣ a 11 a 21 a 31 . . . a n 1 a 12 a 22 a 32 . . . a n 2 . . . . . . a 1 n a 2 n a 3 n . . . a n n ∣ ∣
∣
∣
∣ ∣ D ´ = | a 11 a 21 a 31 . . . a n 1 a 12 a 22 a 32 . . . a n 2 . . . . . . a 1 n a 2 n a 3 n . . . a n n |
称行列式 D ´ D ´ 称为 D D 的转置行列式。
性质 1 1 : 行列式与它的转置行列式相等。
性质 2 2 : 对换行列式的两行(列),行列式变号。
记 r i , c i r i , c i 为行列式的第 i i 行,第 i i 列,则对换第 i , j i , j 行记作 r i ↔ r j r i ↔ r j ,对换第 i , j i , j 列记作 c i ↔ c j c i ↔ c j 。
推论:如果行列式中有两行(列)完全相同,则此行列式等于 0 0 。
性质 3 3 : 行列式的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
第 i i 行(列)乘 k k ,记作 r i × k r i × k (或 c i × k c i × k )。
推论:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
性质 4 4 : 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式等于 0 0 。
性质 5 5 : 行列式的某行等于两数之和,等于这一行分开后的两个行列式之和。
性质 6 6 : 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。
所以对于计算行列式的题,我们可以通过上述性质将需计算的行列式化为上(下)三角行列式,再行计算。
1.4 行列式按行(列)展开#
对于一个高次的多项式,我们更喜欢计算低次的多项式。
同理,对于一个高阶的行列式,我们更喜欢计算低阶的行列式。
所以我们引入余子式和代数余子式的概念,来方便我们计算。
在 n n 阶行列式中,把 ( i , j ) ( i , j ) 元 a i j a i j 所在的行 i i 和列 j j 划去后,所剩下的 n − 1 n − 1 阶行列式叫做 (i,j) 元 a i j a i j 的余子式,记作 M i j M i j 。
记 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A i j = ( − 1 ) i + j M i j ,
A i j A i j 叫做 ( i , j ) ( i , j ) 元 a i j a i j 的代数余子式
引理:一个 n n 阶行列式,如果其中第 i i 行所有元素除 ( i , j ) ( i , j ) 元 a i j a i j 外均为 0 0 ,那么此行列式等于 a i j a i j 与它的代数余子式的乘积
即:
D = a i j A i j = ( − 1 ) i + j a i j M i j D = a i j A i j = ( − 1 ) i + j a i j M i j
定理 2 2 :行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式成绩之和
即:
D = n ∑ k = 1 a i k A i k = n ∑ k = 1 a k j A k j ( i , j ∈ { k | 1 ≤ k ≤ n , k ∈ N + } ) D = ∑ k = 1 n a i k A i k = ∑ k = 1 n a k j A k j ( i , j ∈ { k | 1 ≤ k ≤ n , k ∈ N + } )
定理 2 2 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于 0 0 。
定理 2 2 叫做行列式按行(列)展开法则。利用这一法则并结合行列式的性质可以简化行列式的计算。
将定理 2 2 与其推论结合,便可得到代数余子式的重要性质:
n ∑ k = 1 a k i A k j = { D , i = j 0 , i ≠ j ∑ k = 1 n a k i A k j = { D , i = j 0 , i ≠ j
或
n ∑ k = 1 a i k A j k = { D , i = j 0 , i ≠ j ∑ k = 1 n a i k A j k = { D , i = j 0 , i ≠ j
可以用以上性质解部分复杂题。
2.矩阵#
2.1 线性方程组和矩阵#
对于 m m 个未知数 n n 个方程的方程组:
⎧ ⎪
⎪ ⎨ ⎪
⎪ ⎩ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 1 m x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 2 m x n = b 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n m x n = b n { a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 m x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 m x n = b 2 · · · · · · · · · · · a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + · · · + a n m x n = b n
将该方程等号左侧各系数取出,排成 n n 行 m m 列的数表,将此述标称作 n n 行 m m 列矩阵,简称 n × m n × m 矩阵,记作:
A = ⎛ ⎜
⎜
⎜ ⎝ a 11 a 12 a 13 . . . a 1 m a 21 a 22 a 23 . . . a 2 m . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a n m ⎞ ⎟
⎟
⎟ ⎠ A = ( a 11 a 12 a 13 . . . a 1 m a 21 a 22 a 23 . . . a 2 m . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a n m )
n × m n × m 矩阵 A A 也记作 A n × m A n × m 矩阵。
行数与列数都为 n n 的矩阵称为 n n 阶矩阵或 n n 阶方阵,也记作 A n A n 。
矩阵的第 i i 行第 j j 列元素记作 A i j A i j 或 a i j a i j 。所有 n × m n × m 阶矩阵构成的集合记作 M n × m ( R ) M n × m ( R ) ,特别的,所有 n n 阶矩阵构成的集合记作M n ( R ) M n ( R ) 。
只有一行的矩阵称作行矩阵,只有一列的矩阵称作列矩阵。
在 n n 阶矩阵中,A i i A i i 称作主对角线。只有主对角线非零的矩阵称作对角矩阵,记作:
A = diag { a 1 , a 2 , a 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n } = ⎛ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ⎝ a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n ⎞ ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ ⎠ A = diag { a 1 , a 2 , a 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n } = ( a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n )
特别地,对于主对角线全为 1 1 的对角矩阵,我们称作单位矩阵,n n 阶单位矩阵记作 E n E n 。
如果 2 2 个矩阵的行数列数相同,则称它们为同型矩阵。
如果 2 2 个同型矩阵对应元素相等,即:
a i j = b i j ( ∀ 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m ) a i j = b i j ( ∀ 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m )
那么称矩阵 A A 与矩阵 B B 相等,记作:
A = B A = B
元素都为 0 0 的矩阵称作零矩阵,记作 O O 。注意不同型的零矩阵不同。
n n 阶行列式 | A | | A | 的各个元素的代数余子式 A i j A i j 所构成的矩阵称为 A A 的伴随矩阵。该阵满足:A A ∗ = A ∗ A = | A | E n A A ∗ = A ∗ A = | A | E n 。
2.2 矩阵的运算#
矩阵加法
设 2 2 个矩阵 A , B ∈ M n × m ( R ) A , B ∈ M n × m ( R )
( A ± B ) i j = A i j ± B i j , ∀ 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m ( A ± B ) i j = A i j ± B i j , ∀ 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m
A ± B = ⎛ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ⎝ A 11 ± B 11 A 12 ± B 12 ⋯ A 1 m ± B 1 m A 21 ± B 21 A 22 ± B 22 ⋯ A 2 m ± B 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 ± B n 1 A n 2 ± B n 2 ⋯ A n m ± B n m ⎞ ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ ⎠ A ± B = ( A 11 ± B 11 A 12 ± B 12 ⋯ A 1 m ± B 1 m A 21 ± B 21 A 22 ± B 22 ⋯ A 2 m ± B 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 ± B n 1 A n 2 ± B n 2 ⋯ A n m ± B n m )
数与矩阵相乘
设矩阵 A ∈ M n × m ( R ) , λ ∈ R A ∈ M n × m ( R ) , λ ∈ R
( λ A ) i j = λ A i j ( λ A ) i j = λ A i j
λ A = ⎛ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ⎝ λ A 11 λ A 12 ⋯ λ A 1 m λ A 21 λ A 22 ⋯ λ A 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ λ A n 1 λ A n 2 ⋯ λ A n m ⎞ ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ ⎠ λ A = ( λ A 11 λ A 12 ⋯ λ A 1 m λ A 21 λ A 22 ⋯ λ A 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ λ A n 1 λ A n 2 ⋯ λ A n m )
矩阵与矩阵相乘
设 2 2 个矩阵 A , ∈ M n × s ( R ) , B ∈ M s × m ( R ) A , ∈ M n × s ( R ) , B ∈ M s × m ( R )
A A 为 n × s n × s 矩阵,B B 为 s × m s × m 矩阵,则他们的乘积是一个 n × m n × m 矩阵,记作 C = A B C = A B 。
C i j = s ∑ k = 1 a i k b k j ( ∀ 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m ) C i j = ∑ k = 1 s a i k b k j ( ∀ 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m )
C = ⎛ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ⎝ ∑ m k = 1 A 1 k B k 1 ∑ m k = 1 A 1 k B k 2 ⋯ ∑ m k = 1 A 1 k B k p ∑ m k = 1 A 2 k B k 1 ∑ m k = 1 A 2 k B k 2 ⋯ ∑ m k = 1 A 2 k B k p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∑ m k = 1 A n k B k 1 ∑ m k = 1 A n k B k 2 ⋯ ∑ m k = 1 A n k B k p ⎞ ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ ⎠ C = ( ∑ k = 1 m A 1 k B k 1 ∑ k = 1 m A 1 k B k 2 ⋯ ∑ k = 1 m A 1 k B k p ∑ k = 1 m A 2 k B k 1 ∑ k = 1 m A 2 k B k 2 ⋯ ∑ k = 1 m A 2 k B k p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∑ k = 1 m A n k B k 1 ∑ k = 1 m A n k B k 2 ⋯ ∑ k = 1 m A n k B k p )
矩阵转置
对于矩阵 A , ∈ M n × m ( R ) A , ∈ M n × m ( R ) ,将矩阵 A A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做 A A 的转置矩阵,记作 A T A T 。
A = ⎛ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ⎝ A 11 A 12 ⋯ A 1 m A 21 A 22 ⋯ A 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A n m ⎞ ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ ⎠ A = ( A 11 A 12 ⋯ A 1 m A 21 A 22 ⋯ A 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A n m )
A T = ⎛ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ⎝ A 11 A 21 ⋯ A m 1 A 12 A 22 ⋯ A m 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A m n ⎞ ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ ⎠ A T = ( A 11 A 21 ⋯ A m 1 A 12 A 22 ⋯ A m 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A m n )
A + B = B + A A + B = B + A
特别的,对于可交换的 2 2 个方阵
A B = B A A B = B A
结合律:
λ ( A B ) = ( λ A ) B = A ( λ B ) λ ( A B ) = ( λ A ) B = A ( λ B )
( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = A ( B C )
分配律:
λ ( A + B ) = λ A + λ B λ ( A + B ) = λ A + λ B
( A + B ) T = A T + B T ( A + B ) T = A T + B T
λ ( A T ) = ( λ A ) T λ ( A T ) = ( λ A ) T
( A + B ) C = A C + B C ( A + B ) C = A C + B C
C ( A + B ) = C A + C B C ( A + B ) = C A + C B
( A B ) T = B T A T ( A B ) T = B T A T
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