线性代数学习笔记

目录#

  1. 行列式
    1.1 二阶和三阶行列式
    1.2 n 阶行列式
    1.3 行列式的性质
    1.4 行列式按行 (列) 展开
  2. 矩阵
    2.1 线性方程组和矩阵
    2.2 矩阵的运算
    2.3 逆矩阵
    2.4 克莱姆法则
    2.5 高斯消元
    (学一点更一点qwq)

痛苦啊啊啊啊,本来就是自学还是拿的垃圾教材,现在学不懂了
矩阵部分可能会重写

1.行列式#

1.1 二阶和三阶行列式#

对于一个二元一次方程组:

{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2

当其有解时,解为

x1=b1a22a12b2a11a22a12a21x2=b2a11a21b1a11a22a12a21

注意到分母是由等号左侧 4 个系数构成,我们把这四个数排成 2 行 2 列的形式:

a11a12a21a22

表示式 a11a22a12a21 称为上面形式所确定的二阶行列式,记作

|a11a12a21a22|

aij 表示行列式内第 i 行第 j 列的元。
所以二阶行列式便是 a11a22a12a21

三阶行列式定义类似
对于一个 9 个数排成 3 行 3 列的形式,记作

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32
上述表明:三阶行列式含 6 项,每项均为不同行不同列的 3 个元素乘积再冠以正负号。
是不是非常简单?

1.2 n 阶行列式#

回到 3 阶行列式上
|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32
很容易看出,该式右边的每一项都是三个数的乘积,且这三个数都位于不同的行,不同的列。所以我们可以把每一项写成 a1p1a2p2a3p3 的形式。可以发现,这一项每个元素的行标都是 123 ,列标都是 p1p2p3 ,即为 1,2,3 的排列 ,这种排列的种数 =P3=6,对应该式共有 6 项。注意到每一项的正负性,我们发现,当列标排列是偶排列时,此项带正号,为奇排列时,带负号。又因为奇排列偶排列是以排列的逆序数为标准的,所以我们便可推出:
k= 该项排列的逆序数
|a11a12a13a21a22a23a31a32a33| =i=1P3(1)ka1p1a2p2a3p3
推广到一般形式:
k= 该项排列的逆序数
对于行列式
D=|a11a12a13...a1na21a22a23...a2n  ......an1an2an3...ann|=i=1Pn(1)ka1p1a2p2...anpn
记作 det(aij)

n 阶行列式从 a11ann 的连线称作主对角线。
主对角线以上(下)均为 0 的行列式称为下(上)三角行列式,主对角线上下均为 0 的行列式称作对角行列式。
2 种特殊的行列式 DD´ 均等于主对角线上各元素之积。

1.3 行列式的性质#


D=|a11a12a13...a1na21a22a23...a2n  ......an1an2an3...ann|

D´=|a11a21a31...an1a12a22a32...an2  ......a1na2na3n...ann|

称行列式 D´ 称为 D 的转置行列式。
性质 1行列式与它的转置行列式相等。
性质 2对换行列式的两行(列),行列式变号。
ri,ci 为行列式的第 i 行,第 i 列,则对换第 i,j 行记作 rirj,对换第 i,j 列记作 cicj
推论:如果行列式中有两行(列)完全相同,则此行列式等于 0
性质 3行列式的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
i 行(列)乘 k,记作 ri×k(或 ci×k)。
推论:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
性质 4行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式等于 0
性质 5行列式的某行等于两数之和,等于这一行分开后的两个行列式之和。
性质 6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。

所以对于计算行列式的题,我们可以通过上述性质将需计算的行列式化为上(下)三角行列式,再行计算。

1.4 行列式按行(列)展开#

对于一个高次的多项式,我们更喜欢计算低次的多项式。
同理,对于一个高阶的行列式,我们更喜欢计算低阶的行列式。
所以我们引入余子式和代数余子式的概念,来方便我们计算。

n 阶行列式中,把 (i,j)aij 所在的行 i 和列 j 划去后,所剩下的 n1 阶行列式叫做 (i,j) 元 aij 的余子式,记作 Mij
Aij=(1)i+jMij
Aij 叫做 (i,j)aij 的代数余子式

引理:一个 n 阶行列式,如果其中第 i 行所有元素除 (i,j)aij 外均为 0 ,那么此行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积
即:

D=aijAij=(1)i+jaijMij

定理 2:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式成绩之和
即:

D=k=1naikAik=k=1nakjAkj(i,j{k|1kn,kN+})

定理 2 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于 0
定理 2 叫做行列式按行(列)展开法则。利用这一法则并结合行列式的性质可以简化行列式的计算。
将定理 2 与其推论结合,便可得到代数余子式的重要性质:

k=1nakiAkj={D, i=j0, ij

k=1naikAjk={D, i=j0, ij

可以用以上性质解部分复杂题。


2.矩阵#

2.1 线性方程组和矩阵#

对于 m 个未知数 n 个方程的方程组:

{a11x1+a12x2+···+a1mxn=b1a21x1+a22x2+···+a2mxn=b2···········an1x1+an2x2+···+anmxn=bn

将该方程等号左侧各系数取出,排成 nm 列的数表,将此述标称作 nm 列矩阵,简称 n×m 矩阵,记作:

A=(a11a12a13...a1ma21a22a23...a2m  ......an1an2an3...anm)

n×m 矩阵 A 也记作 An×m 矩阵。
行数与列数都为 n 的矩阵称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵,也记作 An
矩阵的第 i 行第 j 列元素记作 Aijaij。所有 n×m 阶矩阵构成的集合记作 Mn×m(R) ,特别的,所有 n 阶矩阵构成的集合记作Mn(R)
只有一行的矩阵称作行矩阵,只有一列的矩阵称作列矩阵。
n 阶矩阵中,Aii 称作主对角线。只有主对角线非零的矩阵称作对角矩阵,记作:

A=diag{a1,a2,a3,,an}=(a1000a2000an)

特别地,对于主对角线全为 1 的对角矩阵,我们称作单位矩阵,n 阶单位矩阵记作 En
如果 2 个矩阵的行数列数相同,则称它们为同型矩阵。
如果 2 个同型矩阵对应元素相等,即:

aij=bij(1in,1jm)

那么称矩阵 A 与矩阵 B 相等,记作:

A=B

元素都为 0 的矩阵称作零矩阵,记作 O。注意不同型的零矩阵不同。
n 阶行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的矩阵称为 A 的伴随矩阵。该阵满足:AA=AA=|A|En

2.2 矩阵的运算#

  • 矩阵加法
    2 个矩阵 A,BMn×m(R)

(A±B)ij=Aij±Bij,1in,1jm

A±B=(A11±B11A12±B12A1m±B1mA21±B21A22±B22A2m±B2mAn1±Bn1An2±Bn2Anm±Bnm)

  • 数与矩阵相乘
    设矩阵 AMn×m(R),λR

(λA)ij=λAij

λA=(λA11λA12λA1mλA21λA22λA2mλAn1λAn2λAnm)

  • 矩阵与矩阵相乘
    2 个矩阵 A,Mn×s(R),BMs×m(R)
    An×s 矩阵,Bs×m 矩阵,则他们的乘积是一个 n×m 矩阵,记作 C=AB

Cij=k=1saikbkj(1in,1jm)

C=(k=1mA1kBk1k=1mA1kBk2k=1mA1kBkpk=1mA2kBk1k=1mA2kBk2k=1mA2kBkpk=1mAnkBk1k=1mAnkBk2k=1mAnkBkp)

  • 矩阵转置
    对于矩阵 A,Mn×m(R),将矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作 AT

A=(A11A12A1mA21A22A2mAn1An2Anm)

AT=(A11A21Am1A12A22Am2A1nA2nAmn)

  • 方阵的行列式
    n 阶方阵 A 所构成的行列式(元素位置不变),称为方阵 A 的转置行列式,记作 det(A)|A|
    A 所确定的 |A| 有以下性质:
    A,B Mn(R),λR

    |AT|=|A||λA|=λn|A||AB|=|A||B|

  • 矩阵的运算律
    交换律:

A+B=B+A

特别的,对于可交换的 2 个方阵

AB=BA

结合律:

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

(AB)C=A(BC)

分配律:

λ(A+B)=λA+λB

(A+B)T=AT+BT

λ(AT)=(λA)T

(A+B)C=AC+BC

C(A+B)=CA+CB

(AB)T=BTAT


在努力更了捏

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