10.11做题杂记

T1 [TJOI2008]彩灯

题意 : 给你若干个二进制数 , 要求出它们的异或空间有多少个元素

知识点 : 线性基

解析 :
题目中有 \(n≤50\) 个数 , 理论上有 \(2^n\) 种组合 , 但是其中会有重复的 , 很难统计。这时考虑到线性基的最小性 , 我们可以求出这些数的线性基 , 这样就不会产生重复了。设线性基里有 \(k\) 个元素 , 答案就是 \(2^k\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 110;
ll p[N];
const int mod = 2008; 
int n,m;
bool insert(long long x){
    for(int i=50;i>=0;i--){
        if(x & (1ll << i)) {
            if(!p[i]) {p[i]=x;return true;}
            else x^=p[i];
        }
    }
    return false;
}
ll qpower(int x,int y){
    ll ans=1,base=x;
    while(y){
        if(y&1) ans=ans*base%mod;
        base=base*base%mod;
        y/=2;
    }
    return ans;
}
int main() {
    ll kk = 0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        ll x=0;
        char ch[100];
        scanf("%s",ch);
        int len=strlen(ch);
        for(int i=0;i<len;i++) x+=(1ll<<(n-i))*(ch[i]=='O');
        kk += insert(x);
    }   
    // cout<<kk<<endl;
    ll ans=qpower(2,kk);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

T2 [BJWC2011]元素

题意 : 给你 \(n\) 个物品 , 每个物品有两个关键值 : \(id\) 和 \(val\) , 如果若干个物品的 \(id\) 的异或和为 \(0\) , 那么这些物品就不会对答案做任何贡献(可以看成是那些物品的 \(val\) 全部变成 \(0\) ) , 现在我们要选择若干个物品 , 使得它们的 \(val\) 之和最大

知识点 : 线性基

解析 :
异或和为 \(0\) , 就是那几个 \(id\) 线性相关。如果它们线性相关会直接寄 , 不如选择若干个线性不相关的。我们可以想象一下 : 把那些线性相关的物品放在同一个集合中 , 显然 , 对于每个集合 , 先选下那些 \(val\) 最大的物品是更优的 , 所以我们就先按照\(val\) 对物品排序 , 然后按顺序塞进线性基 , 塞不进去直接跳过 , 这样就可以得到最优解了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x){
	x=0;char ch=getchar();bool f=false;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-'){f=true;}ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	x=f?-x:x;
	return ;
}
template <typename T>
inline void write(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10^48);
	return ;
}
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define inc(x,y,mod) (((x)+(y))>=(mod)?(x)+(y)-(mod):(x)+(y))
#define dec(x,y,mod) ((x)-(y)<0?(x)-(y)+(mod):(x)-(y))
#define rep(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define dep(i,y,x) for(int i=(y);i>=(x);i--)
const int N=1e5+5,NM=62,M=2e5+5,MOD=1e9+7;
int n,m;
struct node{
	ll x,y;
	inline bool operator < (const node &B)const{return y>B.y;}
}a[N];
ll d[N];
ll sum;
inline void Insert(ll x,ll y){
	for(int i=NM;~i;i--){
		if(x&(1ll<<i)){
			if(d[i]) x^=d[i];
			else{d[i]=x;sum+=y;return ;}
		}
	}
	return ;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i].x),read(a[i].y);
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) Insert(a[i].x,a[i].y);
	write(sum);
	return 0;
}