拓展欧几里得和同余方程：OI数论(2)

1.同余

定义：若整数$a$和整数$b$除以正整数$m$的余数相同，则称$a$，$b$模$m$同余
记为$a\equiv b\pmod{m}$

2.两个有用的定理

费马小定理:若$p$为质数，则对于任意整数$a$，有$a^p \equiv a \pmod{p}$

欧拉定理:若正整数$a$和$n$互质，则$a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$

感兴趣的读者可以自行搜索相关定理的证明，笔者在此不提供

3.拓展欧几里得算法

还是先给一个定理

裴蜀定理：对于任意整数$a,b$，存在一对整数$x,y$满足$ax+by=gcd(a,b)$

为了方便大家理解下面的知识，在此简要给出它的证明：
$考虑对这对整数a,b做欧几里得算法gcd$
$在欧几里得算法最后一步，b=0，显然存在x=1,y=0使得a*1+b*0=gcd(a,0)$
$对于b>0,gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)。如果对于b,a\bmod b存在了一对整数x,y使得b*x+(a\bmod b)*y=gcd(b,a\bmod b)$
$由于bx+(a\bmod b)y=bx+(a-b \left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor)y=ay+b(x-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y)$
$我们令x'=y,y'=x-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y，就得到了一对整数x',y'使得ax'+by'=gcd(a,b)$
总结一下，整个思路是在欧几里得算法的递归过程中利用数学归纳法得出来的，所以我们如果要计算这一对$x,y$,就可以利用欧几里得算法进行计算
这个算法被称为拓展欧几里得算法

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){ x=1,y=0; return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y,y=z-(a/b)*y;
    return d;
}

利用函数传地址，拓展欧几里得同时得到了两个数的gcd和整数对$x,y$

4.更加一般的情况？

对于更加一般的方程$ax+by=c$来说，它有解当且仅当$gcd(a,b)|c$
我们要解这个方程，只要首先解出$ax+by=d(令gcd(a,b)=d)$的一组解$x_0,y_0$，然后再把这组解乘上$c/d$就得到了原方程的一组解

5.乘法逆元

我们知道，在取模时加法减法和乘法的取模都是自由的，而除法却不行，导致在一些计数问题中我们无法很好地取模导致精度无法承受，
这时就要想一些方法使得取模变得自由，乘法逆元就是这个方法

乘法逆元的定义:若整数$b,m$互质，且$b|a$,则存在整数$x$，使得$a/b \equiv a*x \pmod {m}$,我们称$x$为$b$的模$m$乘法逆元，记为$b^{-1}\pmod{m}$

如果$a/b \equiv a*b^{-1} \equiv a/b*b*b^{-1} \bmod{m}$，因此$b*b^{-1} \equiv 1 (\bmod {m})$
当$m$为质数的时候，并且$b<m$，根据费马小定理，$b^{-1} \equiv 1 (\bmod {m})$，即$b*b^{m-2} \equiv 1(\bmod {m})$
因此，当模数$m$为质数的时候，$b^(p-2)$即为$b$的逆元

当然对于更一般的情况，即仅仅是$b,m$互质的时候，需要求解同余方程$b*x\equiv 1(\bmod{m})$来得到，这个的解法我们后面再说

貌似知识点讲的太多了，我们来说一道例题