NOIP 2021 题解(更新中)

T1 报数

很智障的题，筛一遍就行了

唯一要注意的就是要筛到 $10^7+1 $，因为对于9999998，输出应该是 \(10^7+1\)

代码想必是没必要贴了

T2 数列

题面有点小绕，大概是拼一个二进制数出来，满足1的个数小于k，还要求个权值和

考虑用计数dp

题目中提到 \(S=2^{a_1}+2^{a_2}+...+2^{a_m}\)

可以看出，在取\(a_i\)时，对于答案的贡献为\(v_{a_i}\)

由\(S\)的定义式，很容易联想到\(S\)其实是\(m\)个头部为\(1\)剩余为\(0\)的二进制数的和

像这样

那么我们就可以考虑把这个问题转化成在\(1 - m\)这些位置，标上共n个\(1\)(每个位置可以标多个)，我们明显感受到这个问题可以考虑dp

然后我们考虑dp的状态

\(令dp[i][j][l][p]表示当前正在第i个位置，已经选取了j个1，合成的S中共有l个1，前一位向本位进位 p 时序列的权值和\)

接下来推转移方程。

若我们现在在位置\(i\)上，想要推出\(i+1\)的权值。

假设我们要在当前位置上选取\(q\)个\(1\)，显然目标状态为$ dp[i+1][j+q][l+(p+q)%2)$ $] $ $ [$ $ (p+q)/2 $ \(]\)

转移系数呢？首先考虑\(v_i\)的贡献值，即先乘上一个\(v_i^q\);接下来，考虑排列形成的不同情况，做转移时我们总共有\(n-j\)个空位可供选取，从中选\(q\)个，显而易见是\(C(q,n-j)\)

得到转移方程
\(dp[i+1][j+q][l+(p+q)\) % \(2][(p+q)/2]=dp[i][j][l][p]*v_i^q*C(q,n-j)\)

统计答案时，显然所有答案存在$ dp[m+1][n][l][p] $中，我们只需\(0 - k\)地枚举\(l\)，\(0-n\)地枚举\(p\)，若\(l+popcnt(p)<=k\)，就将\(dp[m+1][n][l][p]\)加进总答案

当然，组合数和popcnt是可以预处理的，如果转移的时候暴算会T掉