树的相关问题(未完)

一.树的直径

定义：树上最长的简单路径

求法：两次dfs,首先在树上找到离任意一点最远的一点A，再找到离A点最远的点B，可以证明A、B为直径的两条端点

代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
inline int read()
{
    char ch=getchar();
    int s=0,f=1;
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
        if(ch=='-')
            f*=-1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar())
        s*=10,s+=ch-'0';
    return s*f;
}
const int N=1010;
struct edge{
    int to,u;
};
vector<edge> v[N];
int n,dis[N];
int ans,now;//分别表示直径长度和端点编号
void dfs(int x,int fa)
{
    if(dis[x]>ans)
    {
        ans=dis[x];
        now=x;
    }
    for(int i=0;i<v[x].size();i++)
    {
        int to=v[x][i].to;
        if(to==fa) continue;
        dis[to]=dis[x]+v[x][i].u;
    }
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y,z;
        x=read(),y=read(),z=read();
        v[x].pb((node){y,z});
        v[y].pb((node){x,z});
    }
    dfs(1,0);//第一次dfs
    dis[now]=0;
    ans=0;
    dfs(now,1);//第二次dfs
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

重要性质：

1. 距离树上任意点最远的点一定是直径的端点

2. 若一棵树有多条直径，那么这些路径的中点为同一点，且这个点被称为树的中心

二.树的重心

定义：若以一个节点为根时，该树的最大子树最小，则称这个点为树的重心

性质：

1.最大的子树最小

2.找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡

3.树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个距离和，他们的距离和一样，则这两个点都是重心（即重心可以有两个）

4.把两棵树通过一条边相连，新的树的重心在原来两棵树重心的连线上

5.一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置

6.一棵树最多有两个重心，且相邻。

求法：任选节点r为根节点做dfs，dfs的同时即更新所有的d(当前子树的大小)，以及最小的最大子树，注意当前子树的最大子树要考虑其父节点向上的树

代码

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#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=1010;
vector<int> v[N];
int n,sz[N];
int ans;
void dfs(int x,int fa)
{
    int mx=0;
    sz[x]=1;
    for(int i=0;i<v[x].size();i++)
    {
        int to=v[x][i];
        if(to==fa) continue;
        dfs(to,x);
        sz[x]+=sz[to];
        mx=max(mx,sz[x]);
    }
    mx=max(mx,n-mx);
    ans=min(ans,mx);
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        v[x].pb(y);
        v[y].pb(x);
    }
    dfs(1,0);
    cout<<ans<<endl;//ans即为最大子树的最小值，由此可以记录每个点的mx值来判断重心
    return 0;
}