概率与期望
概率与期望
因为最近在很多题目里见到了题干里有或者要求出概率或期望，但是脑子不好使已经把暑假学的从概念开始全忘光了。所以来回炉重造一下（雾。
概率
通俗的讲，一件事情发生的可能性，就是概率，一般用 \(P(A)\) 表示事件 \(A\) 发生的概率。
显然，任何一件事情发生的概率 \(P(A)\) 都应该在 \(0\) ~\(1\) 之间。
从统计的意义上，当随机的样本足够多的时候，事件 $A $ 的频率除以随机的总次数，就约等于事情发生的概率了。
基本类型有古典概型、几何概型等。属于高中 whk 内容，不多赘述。
那么在 OI 中，我们最关心的显然是概率的计算。
计算概率的常见方法有这么三种：
1.模拟足够多次，用频率/模拟次数的近似值代替概率。这个方法适用于容易模拟，且答案要求是实数，精度不高的情况下。
2.利用加法&乘法原理，构造递推式来递推。
3.在每种方案出现的概率一致的情况下，用满足条件的方案数除以样本总数来算。
注：第二、三种方法是常用的方法，第一种方法在OI中常用来骗分。
期望
百度上对于期望的定义是酱紫的。
期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
通俗地来讲，期望可以理解为一种意义上的“加权平均数”。
设离散型随机变量 X 的概率分布为 \(p_i=P\) { \(X=x_i\) } ，若和式 \(\sum_{i=1}^n{p_ix_i}\) 绝对收敛，则称其值为 \(X\) 的期望。
连续型随机变量以及分布函数通过 Stieltjes 积分是否绝对收敛的定义见随机变量的数字特征 - OI Wiki，需要较强的数学基础，总之我看不懂，鸽之。
大数定律表明，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
更简单直观的解释一下就是，在OI里如果一个题考期望，暴力求解的方法就是暴力求出每种情况的概率然后乘上去。
值得关注的是，期望具有线性性质，即 \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)。
群友那里嫖到的优雅推导，或者也可以类比积分的线性性质来理解。
一个重要性质：\( E(cX) = cE(X),E(X+b) = E(x) + b\)
problem
一些群友推荐的好题。
