【线性代数】四个基本子空间

矩阵A一共对应着4个基本子空间，分别是列空间、行空间、零空间以及左零空间

行空间

设一m行n列实元素矩阵为\(A\)(mxn),则其行空间(Row Space)是由矩阵A的所有行向量所生成的\(R^n\)上的子空间，记作\(C(A^{\mathrm{T}})\)或\(R(A)\)。其中，矩阵\(A^{\mathrm{T}}\)是矩阵A的转置。

矩阵A的行空间中的所有向量均为矩阵A的行向量的某种线性组合，都为\(R^n\)上的向量（即n维向量）。

矩阵A对应的行空间维度等于矩阵A的行秩，最大为min(m,n)。即：

dim \(C(A^{\mathrm{T}})\) = dim \(R(A)\) = rank(\(A^{\mathrm{T}}\)) ≤ min(m,n)

行空间\(C(A^{\mathrm{T}})\)的一组自然基底是矩阵A的行向量的最大线性无关组。

列空间

既然行空间是矩阵A所有行向量的线性组合，那么可以想到A对应的列空间应该是所有列向量的线性组合。

设一m行n列实元素矩阵为\(A\)(mxn),则其行空间(Col Space)是由矩阵A的所有列向量生成的\(R^m\)上的子空间，记作\(C(A)\)。

矩阵A的列空间\(C(A)\)中的所有向量均为矩阵A中列向量的某种线性组合，都为\(R^m\)上的向量（即m维向量）。

\(C(A)\)的维度等于矩阵A的列秩，最大为min(m,n)。即：

dim \(C(A)\) = rank(\(A\)) ≤ min(m,n)

列空间\(C(A)\)的一组自然基底是矩阵A的列向量的最大线性无关组。

零空间

在数学中，一个矩阵A的零空间是方程\(Ax = 0\)的所有解\(x\)的集合。它也叫做A的核, 核空间，记为\(Null(A)\)。

想像一下，方程\(Ax = 0\)的解通常有哪种可能？我想大概分为两种可能：

1. \(Null(A)\)仅有零解
2. \(Null(A)\)包含零解和无穷多个非零解

所以，不管怎么样，\(Null(A)\)都至少包含零向量

左零空间

与零空间类似，只不过A的左零空间是方程\(A^{\mathrm{T}}x = 0\)的所有解\(x\)的集合。记为\(Null(A^{\mathrm{T}})\)

同样的，解集同样至少包含零解

四个基本子空间的性质

对于一个mxn矩阵\(A\)来说：

1. 行空间与零空间正交
2. 列空间与左零空间正交
3. dim \(R(A)\) + dim \(Null(A)\) = m，即行空间的维度+零空间的维度=行数
4. dim \(C(A)\) + dim \(Null(A^{\mathrm{T}})\) = n，即列空间的维度+左零空间的维度=列数

性质证明

要证明两个子空间正交，先来给定子空间正交的定义是什么：若(内积空间)的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。其中内积空间是添加了内积运算的向量空间。

好吧，反正就是证明矩阵A对应的行空间中的每个向量都与零空间中每个向量正交即可。有mxn矩阵\(A\)，将它写为下面这个形式:$$
\left[
\begin{matrix}
row & 1 & of & A \
row & 2 & of & A \
row & 3 & of & A \
&\ .\
&\ . \
&\ . \
row & m & of & A
\end{matrix}
\right]

\[我们要求$Ax = 0$，让我们用上面这种形式写一遍：\]

\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
row & 1 & of & A \
row & 2 & of & A \
row & 3 & of & A \
&\ .\
&\ . \
&\ . \
row & m & of & A
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x_1\
x_2\
x_3\
.\
.\
.\
x_n
\end{matrix}
\right]=\left[
\begin{matrix}
0\
0\
0\
.\
.\
.\
0
\end{matrix}
\right]
\end{equation}

\[所以，如果有一个向量$v$属于$Null(A)$，显然，将$v$带入(1)式是成立的。所以A中的每一行，即每个行向量都与向量$v$都正交。而A的行空间是行向量们的线性组合，所以$v$与A的行空间是正交的。同理，对于$Null(A)$中的其他向量，也和$v$一样与A的行空间是正交。因此，足以证明A行空间与零空间正交。 同样的，可以证明A的列空间与左零空间正交，这里不再赘述。 ### 举例 好吧，举个实际的例子，这样以后看到也能马上想起来，哦，确实是这样。 给出一个3x2的矩阵$$A= \left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} \right]\]

这个矩阵是我胡编的，让我们分别求一下A对应的行空间、列空间、零空间以及左零空间

求解行空间

显然，在A矩阵里有两个行向量\(\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}\)，它们分别是$$
\overrightarrow{r_1}=\left[
\begin{matrix}
2\
4\
1
\end{matrix}
\right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\overrightarrow{r_2}=\left[
\begin{matrix}
3\
1\
2
\end{matrix}
\right]

\[它们线性无关，所以$\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}$可以作为行空间中的一组基。它俩张成了A的行空间，$R(A)$中的任意一个向量都可以表示为\]

\begin{equation}
λ_1\left[
\begin{matrix}
2\
4\
1
\end{matrix}
\right]+
λ_2\left[
\begin{matrix}
3\
1\
2
\end{matrix}
\right]，其中λ_1、λ_2是任意实数
\end{equation}

\[我们已经求得了A的行空间$R(A)$ #### 求解列空间 显然，在A矩阵里有三个列向量$\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}, \overrightarrow{r_3}$，它们分别是\]

\overrightarrow{r_1}=
\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
2\
3
\end{matrix}
\right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\overrightarrow{r_2}=\left[
\begin{matrix}
4\
1
\end{matrix}
\right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\overrightarrow{r_3}=\left[
\begin{matrix}
1\
2
\end{matrix}
\right]
\end{equation}$$
它们线性无关，所以\(\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}, \overrightarrow{r_3}\)可以作为行空间中的一组基，张成了A的列空间，\(C(A)\)中的任意一个向量都可以表示为$$
λ_1\left[
\begin{matrix}
2\
3
\end{matrix}
\right]+
λ_2\left[
\begin{matrix}
4\
1
\end{matrix}
\right]+
λ_3*\left[
\begin{matrix}
1\
2
\end{matrix}
\right]，其中λ_1、λ_2、λ_3是任意实数

\[我们已经求得了A的列空间$R(A)$。 **这里的行空间与列空间刚好由矩阵A的每行每列表示是因为我选的矩阵恰好是行满秩与列满秩，行空间由行向量组成的极大线性无关组表示，同理，列空间由列向量组成的极大线性无关组表示** #### 求解零空间 那就是求解\]

\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
2 & 4 & 1 \
3 & 1 & 2
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{matrix}
\right]
=\left[
\begin{matrix}
0 \
0 \
0
\end{matrix}
\right]
\end{equation}$$
使用高斯消元等到A矩阵的行最简形$$
U=\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
-1 & -3 & 1 \
0 & 10 & -1
\end{matrix}
\right]
\end{equation}

\[可以得到解的集合为\]

x=k
\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
14 \
-1 \
10
\end{matrix}
\right]
\end{equation}

\[ #### 求解左零空间 将矩阵A转置有\]

A^{\mathrm{T}}=
\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
2 & 3 \
4 & 1 \
1 & 2
\end{matrix}
\right]
\end{equation}

\[求解\]

\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
2 & 3 \
4 & 1 \
1 & 2
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x_1 \
x_2
\end{matrix}
\right]
=\left[
\begin{matrix}
0 \
0
\end{matrix}
\right]
\end{equation}$$
以我多年的做题经验（笑），这个应该只有零解。

总结

四个空间都求出来了，加加它们的维度也是满足之前给出的子空间的性质，不同空间对应的基包含的向量也是相互正交的。