【线性代数】为什么点积为零可以用来判别向量是否正交

引言

一般的课本上都会告诉我们判断两个向量是否正交可以通过它们的点积为0判断，那么到底为什么？

向量

一个向量是有方向和长度的，我们记向量\(\overrightarrow{a}\)的长度为\(\left\|a\right\|\)，也叫向量的长度为模。那么向量的模是怎么计算的：$$
\left|a\right| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i2}, \ 向量一共n维，x_i是第i个维度的值

\[怎么理解这个长度？比如在三维空间中有一个向量$\overrightarrow{a}= \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right] $，可以理解为有一个点在三维坐标系上移动，一开始从原点出发往x正方向走1格，再往y正方向走2格，最后往z方向走3格，落脚点就是向量的终点了。自然地，原点与终点之间的直线长度就是向量的长度，而直线长度得到的方式就是向量模得到的方式。 ## 正交 正交是对向量来说的，比如$R^n$中有两个n维向量$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$，它们两并不共线，而是呈一定的角度，如果夹角为$90^。$，那么说这两个向量正交。 在这里也给出一般判断两个向量是否正交的方式：$a^{\mathrm{T}}b=0$。下面证明为什么这种判别方式是可行的。 ## 证明 $R^n$中有两个n维向量$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$，它们相加可以得到一个向量$\overrightarrow{a+b}$。将3个向量移动一下，构成一个三角形。如果一个三角形较短的两边的平方和等于斜边的平方，这个三角形称为直角三角形，就是说两条较短的边夹角为90度。 现在我们已经有一个三角形，三角形的三条边的长度分别为$\left\|a\right\|，\left\|b\right\|，\left\|a+b\right\|$。好吧，我们先假设三个向量围成的三角形是直角三角形，那么应该有$$\begin{equation} \left\|a\right\|^2 + \left\|b\right\|^2 = \left\|a+b\right\|^2 \end{equation}$$模又可以用矩阵乘法来表示，比如$\left\|a\right\|^2=a^{\mathrm{T}}a$，因此，将(1)中的式子全都有矩阵乘法表示，具体的结果：$$\begin{equation} a^{\mathrm{T}}a + b^{\mathrm{T}}b = {(a+b)}^{\mathrm{T}}(a+b) \end{equation}\]

真是赏心悦目的等式，将右边的括号去掉，有以下等式：$$
\begin{equation}
a^{\mathrm{T}}a + b^{\mathrm{T}}b = a^{{\mathrm{T}}a+a}{\mathrm{T}}b+b^{{\mathrm{T}}a+b}{\mathrm{T}}b
\end{equation}$$
左右消去，我们得到$$
\begin{equation}
0 = a^{{\mathrm{T}}b+b}{\mathrm{T}}a
\end{equation}$$
又因为\(a^{\mathrm{T}}b=b^{\mathrm{T}}a\)，所以我们最终得到\(a^{\mathrm{T}}b=0\)。我们从两个3个向量围成的是直角三角形推出了\(a^{\mathrm{T}}b=0\)这个结论。当然还需要证明充分条件，即\(a^{\mathrm{T}}b=0\)成立时，围成的三角形为直角三角形。具体的做法就是将\({(a+b)}^{\mathrm{T}}(a+b)\)这个展开，然后利用\(a^{\mathrm{T}}b=0\)这个条件最终得到\(a^{\mathrm{T}}a + b^{\mathrm{T}}b\)，不再赘述。所以两个向量的点积为0可以推出它们是正交的。