[leetcode]238. 除自身以外数组的乘积

题目描述

给定长度为 n 的整数数组 nums，其中 n > 1，返回输出数组 output ，其中 output[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积。

示例:

输入: [1,2,3,4]
输出: [24,12,8,6]
说明: 请不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

进阶：

你可以在常数空间复杂度内完成这个题目吗？（ 出于对空间复杂度分析的目的，输出数组不被视为额外空间。）

算法

题中明确要求不能使用除法，本可以使用O(n^2)的双for暴力循环求解，但又要求在 O(n) 时间复杂度内。这就需要开动下脑筋，先来分析一下输出是怎么的得到：

24 = 2 * 3* 4
12 = 1 * 3 *4
8 = 1 * 2 * 4
6 = 1 * 2 *3

记保存输出的向量为vec，长度为length。

显然vec[i]上需要填的值 = 前i个数累乘 * 后(length - i - 1)个数累乘

仔细一思考，这个好像可以和动态规划有些关联，毕竟涉及到前i个、后几个连乘这样的关系。现在还处在探索问题的阶段，将问题分为两部分思考，一个是从前往后走，一个是从后往前走，保存它们的累乘结果到2个数组中（先不考虑进阶部分要求的常数空间复杂度），观察这2个数组和我们最终的输出有什么关联。

从前往后

nums	1	2	3	4
dp_forward	1	1	2	6

if i > 0:
    dp[i] = (nums[0]到nums[i-1]的累乘)
else:
    dp[0] = 1
"""
dp数组的前后值有这么一个数学关系：
                dp[i] = dp[i-1] * nums[i-1]
"""

从后往前

为了方便阅读与理解，将nums反转为{4,3,2,1}。套用上面得到的数学关系，可以很轻松的到下面的结果：

nums	4	3	2	1
dp_backward	1	4	12	24

将nums反转为正常顺序{1,2,3,4}，表格变为：

nums	1	2	3	4
dp_backward	24	12	4	1

最后一步

我们已经得到从前向后累乘与从后向前累乘的各个位置上的结果，将它们放在一起：

nums	1	2	3	4
dp_forward	1	1	2	6
dp_backward	24	12	4	1

答案呼之欲出，将dp_forward和dp_backward一行对应相乘得到{24,12,8,6}正是需要的输出。

我敢保证这不是偶然，让我们在分析一遍下面这个式子：
vec[i] = 前i个数累乘 * 后(length - i - 1)个数累乘

前i个数累乘正好保存在dp_forward[i]中；同理，后(length - i - 1)个数累乘正好保存在dp_backward[i]中。正因为这样，所以对应相乘，才正好是需要的答案。

进阶部分

在常数空间复杂度内完成这个题目。 出于对空间复杂度分析的目的，输出数组不被视为额外空间。

也就是说，我们最多可以使用一个大小为length的数组外加几个常数这么多的存储空间。

我的想法是从前往后这部分一定要保存在输出数组中，后面从后往前这部分可以直接更新在输出数组中。具体不在赘述，看代码里的注释更好理解。

代码

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
        int length = nums.size();
        
        // 输出数组
        vector<int> vec(length, 1);
        
        /*** 两次遍历，从前往后一次，从后往前一次 ***/
        
        // 从前往后
        int mul = 1;
        
        for (int i = 1; i < length; i++)
        {
            mul *= nums[i-1];
            vec[i] = mul;
        }
        
        // 从后往前
        mul = 1;
        for (int i = length - 2; i >= 0; i--)
        {
            mul *= nums[i+1];
            // 更新在输出数组上，觉得抽象可以动笔画一画
            vec[i] *= mul;
        }
        
        return vec;
    }
};