RMQ（范围最值问题）算法学习

RMQ算法适合求解对一个数组多次查询给定范围内的最值。

 

预处理操作：

令d[i,j]表示从i开始，长度为2^j的一段元素的最值，可以用递推公式写出d[i,j] = min{ d[i][j-1], d[ i+2^(j-1) ][j-1] }

原理如图所示：

 

复杂度：因为2^j<=n， 所以d数组的元素不会超过nlogn个， 计算每个d[][]需要O（1）。所以总的时间复杂度是O（nlogn）

 

 

查询操作：找到一个最大的整数k,使2^k<=R-L+1，这样查询区间就可以分为 i~i+2^k-1    和   j-2^k+1 ~ j   2个区间。因为是求最值，所以区间有一些重复也没有关系。 

 

//d[i][j] 表示 i往后2^j 区间内的最值
void RMQ_init(int *A,int n)
{
    for(int i=0; i<n; i++)  d[i][0]=A[i];  //初始化
//    极端情况 i=0;  d[0][j-1]要求(1<<j)-1 < n
    for(int j=1; (1<<j)-1 < n; j++)
//        d[i][j-1] 要求 i+(1<<j)-1 < n
        for(int i=0; i+(1<<j)-1 < n; i++)
            d[i][j]=MAX( d[i][j-1], d[i + (1<<(j-1))][j-1] );
}

int RMQ(int L, int R)
{
    int k=0;
    while( 1<<(k+1) <= R-L+1 )  k++;
//    2段有重合，但是求最值不影响
    return MAX( d[L][k], d[R-(1<<k) + 1][k] );
}