斯特林数
考了好几次斯特林数了，该认真学学了
第二类斯特林数
- 也叫斯特林子集数 \(\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}\)，也可记做 \(S(n,k)\)，表示将 n 个两两不同的元素，划分为 k 个互不区分的非空子集的方案数。
递推式
\[\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} n-1\\k-1 \end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix} n-1\\k \end{Bmatrix}
\]
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边界是 \(\begin{Bmatrix} n\\0 \end{Bmatrix}=[n=0]\)
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证明：一个新的数可以当作一个新的子集的方案数，加上放进原来有的子集的方案树
通项公式
\[\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^{k}\frac{(-1)^{k-i}i^n}{i!(m-i)!}
\]
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证明一下
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设 \(G_i\) 表示将 n 个两两不同的元素，划分为 i 个两两不同的可空子集的方案数，有 \(G_i=i^n\)
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设 \(F_i\) 表示将 n 个两两不同的元素，划分为 i 个两两不同的非空子集的方案数，有
\[G_i=\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}F_j
\]
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这个可以看作是枚举有多少个子集是非空的，然后从k个里选i个子集为非空，再乘上 \(F_i\)
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然后根据二项式反演
\[\begin{align*}
F_i &=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}\binom{i}{j}G_j \\
&= \sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}\binom{i}{j}j^n\\
&= \sum_{j=0}^{i}\frac{(-1)^{i-j}j^ni!}{j!(i-j)!}
\end{align*}\]
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然后发现 \(F_i\) 是区分子集，第二类斯特林数是不区分，这样 \(F_i\) 就是 \(\begin{Bmatrix} n\\i \end{Bmatrix}\) 的 \(i!\) 倍
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所以得到
\[\begin{Bmatrix} n\\i \end{Bmatrix}=\sum_{j=0}^{i}\frac{(-1)^{i-j}j^n}{j!(i-j)!}
\]
第一类斯特林数
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也叫斯特林轮换数 \(\begin{bmatrix}n\\k \end{bmatrix}\) ，也可记做 \(s(n,k)\)，表示将 n 个两两不同的元素，划分为 k 个互不区分的非空轮换的方案数。
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一个轮换就是一个首尾相接的环形排列
递推式
\[\begin{bmatrix}n\\k \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\k-1 \end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\k \end{bmatrix}
\]
- 证明：第n个元素放到新的轮换的方案数，加上放到前面每个数旁边的方案数
斯特林反演
\[F_i=\sum_{j=0}^{i}\begin{Bmatrix}i\\ j\end{Bmatrix}G_j\Leftrightarrow G_i=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}\begin{bmatrix}i\\ j\end{bmatrix}F_j
\]
\[F_i=\sum_{j=0}^{i}\begin{bmatrix}i\\ j\end{bmatrix}G_j\Leftrightarrow G_i=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}\begin{Bmatrix}i\\ j\end{Bmatrix}F_j
\]
- 跟二项式反演挺像，式子不难记。
