Cloakroom

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题目描述

• 有n件物品，每件物品有三个属性 a[i],b[i],c[i] (a[i]<b[i])。
• 个询问，每个询问由非负整数 m,k,s 组成，问是否能够选出某些物品使得：
  1. 对于每个选的物品 i,满足 a[i]<=m 且 b[i]>m+s。
  2. 所有选出物品的 c[i]的和正好是 k。

输入格式

• 第一行一个正整数 n(n<=1,000)，接下来 n 行每行三个正整数，分别表示 c[i],a[i],b[i] (c[i]<=1,000,1<=a[i]<b[i]<=109)。
• 下面一行一个正整数 q(q<=1,000,000)，接下来 q 行每行三个非负整数 m,k,s(1<=m<=\(10^9\),1<=k<=100,000,0<=s<=\(10^9\))。

输出格式

• 输出 q行，每行为 "TAK "(yes)或"NIE"(no)，第 i 行对应第 i 次询问的答案。

样例输入

5
6 2 7
5 4 9
1 2 4
2 5 8
1 3 9
5
2 7 1
2 7 2
3 2 0
5 7 2
4 1 5

样例输出

TAK
NIE
TAK
TAK
NIE

Solve

看这道题的题解都写的有些简单，特此补上一篇稍详细一些的题解（代码有注释）。

• 题目大意

n件物品分别有属性a,b,c.

p个询问分别有属性m,k,s.

对于每个询问给出是否存在满足以下三个条件的情况，有输出TAK，否则输出NIE。

1. 每个物品\(a \leq m\)
2. 每个物品\(b>m+s\)
3. 所有物品c的和等于k

• 解题思路

• 考虑暴力，枚举k的所有组成情况并进行记录，每次询问仅须判断c的和为k的几个数，这样预处理都有\(2^{1000}\),妥妥49分TLE。

• q[k][i].a表示和为k的第i种方案中所有物品a属性的最大值。
  q[k][i].b表示和为k的第i种方案中所有物品b属性的最小值。

//...
struct Node {
	int a, b;
	Node() {}
	Node(int x, int y) {
		a = x; b = y;
	}
};
//...
vector<Node> q[100005];//用q数组记录，便于查询
void Dfs(int x, int big, int small, int sum) {
    if (big > small || sum > 100000) return;
    //剪枝优化，a比b大或总和超过数据范围就不再考虑
    q[sum].push_back(Node(big, small));
    for (int i = x + 1; i <= n; ++i)
        Dfs(i, max(big, a[i]), min(small, b[i]), sum + c[i]);
}
int main() {
    //...
    while (Q--) {
        int m, k, s, f = 0;
        scanf("%d%d%d", &m, &k, &s);
        for (int i = 0; i < q[k].size(); ++i)//枚举每种方案进行判断
            if (q[k][i].a <= m && q[k][i].b > m + s) f = 1;
        puts(f ? "TAK" : "NIE");
    }
    return 0;
}
//错误解法只列出关键部分，提供暴力思路

• 这么大的数据，而且有3个条件需要满足，考虑离线算法。

1. 看第一个条件：每个物品\(a \leq m\)
   将物品按照a的大小排序，询问按照m的大小排序，这样，对于第一个条件满足当前询问的物品，也一定会满足后面的询问的第一个条件，节省了一些时间。

2. 每个物品\(b>m+s\)，先略过

3. 所有物品c的和等于k
   类似于背包问题，需要把背包装满，可以按照背包的思路进行dp。

• f[k]表示，在满足\(a \leq m\)的物品中c属性之和为k的方案中最小的 b 属性的最大值。

  • 这一点需要重点理解，需要满足每个物品\(b>m+s\)，就需要最小的b比m+s大就可以，但是c属性的和为k的方案数有可能不止一种，需要找到最优的就是在满足x是这个方案中最小的b属性值的前提下尽可能的找x最大的方案。越说越迷糊，看代码可能会好懂一些。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Node1 {
    int a, b, c;
    bool operator < (const Node1 &b) const {
        return a < b.a;
    }//重载运算符，对物品按a值从小到大排序
}a[1005];
struct Node2 {
    int m, k, s, id;
    bool operator < (const Node2 &b) const {
        return m < b.m;
    }/重载运算符，对询问按m值从小到大排序
}b[1000005];
int n, q, f[100005];//f数组题解中的加粗部分进行了详细的解释
bool ans[1000005];
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d%d%d", &a[i].c, &a[i].a, &a[i].b);
    scanf("%d", &q);
    for (int i = 1; i <= q; ++i)
        scanf("%d%d%d", &b[i].m, &b[i].k, &b[i].s), b[i].id = i;
       //记录编号id，离线排序后便于保存答案
    sort(a + 1, a + n + 1);//对物品按a值从小到大排序
    sort(b + 1, b + q + 1);//对询问按m值从小到大排序
    f[0] = 1 << 30;//初始化f[0]为极大值，防止在运行 min(f[k-a[j].c], a[j].b)时出现结果都是0的情况
    for (int i = 1, j = 1; i <= q; ++i) {
        for (; j <= n && a[j].a <= b[i].m; ++j)//满足条件1：a<=m
            for (int k = 100000; k >= a[j].c; --k)
                f[k] = max(f[k], min(f[k-a[j].c], a[j].b));
        if (f[b[i].k] > b[i].m + b[i].s) ans[b[i].id] = 1;
        //满足条件3：c之和==k
        //满足条件2：b>m+s
    }
    for (int i = 1; i <= q; ++i)
        puts(ans[i] ? "TAK" : "NIE");
    //三目运算符，个人比较喜欢使用，挺方便
    return 0;
}