回归模型
# 机器学习中的五种回归模型及其优缺点·监督学习
参考链接：https://blog.csdn.net/Katherine_hsr/article/details/79942260
## 1.线性回归(Linear Regression)
参考：《机器学习实战》第八章
算法链接：
https://github.com/sharryling/machine-learning/blob/Machine-Learning/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%9B%9E%E5%BD%92_%E5%9B%9E%E5%BD%92.ipynb
（要注意云端先调整好目录！！！）
  回归是在建模过程中用于分析变量之间的关系、以及变量是如何影响结果的一种技术。线性回归是指全部由线性变量组成的回归模型。例如，最简单的单变量线性回归(Single Variable Linear Regression)是用来描述单个变量和对应输出结果的关系,可以简单的表示成下面的式子：
$$Y=a∗X+b $$
  因为在实际的建模过程中遇到的问题往往更加复杂，用单个变量不能满足描述输出便变量的关系，所以需要用到更多的变量来表示与输出之间的关系，也就是多变量线性回归(Multi Variable Linear Regression)。多变量线性回归模型如下：
Y=a1∗X1+a1∗X2+a3∗X3+.....+an∗Xn+b
  其中a为系数，x是变量，b为偏置。因为这个函数只有线性关系，所以只适用于建模线性可分数据。我们只是使用系数权重来加权每个特征变量的重要性。我们使用随机梯度下降(SGD)来确定这些权重a和偏置b，过程如图所示：
这里写图片描述
线性回归的几个特点：
1. 建模速度快，不需要很复杂的计算，在数据量大的情况下依然运行速度很快。
2. 可以根据系数给出每个变量的理解和解释
3. 对异常值很敏感
## 2. 多项式回归(Polynomial Regression)
  线性回归适合于线性可分的数据，当我们处理非线性可分的数据时可以使用多项式回归。在这种回归中，我们是要找到一条曲线来拟合数据点，可以表示成下面的式子：
$$Y=a1∗X^1+a2∗X2^2+a3∗X3^3+...+an∗Xn^n+b $$
  选择每个变量的确切的质数需要当前数据集合与最终输出的一些先验知识。下面两个图描述了线性回归与多项式回归的比较：
这里写图片描述
这里写图片描述
  多项式回归的特点：
1. 能够拟合非线性可分的数据，更加灵活的处理复杂的关系
2. 因为需要设置变量的指数，所以它是完全控制要素变量的建模
3. 需要一些数据的先验知识才能选择最佳指数
4. 如果指数选择不当容易出现过拟合
## 3.岭回归(Ridge Regression)
<font face="黑体">我是黑体字</font>
<table><tr><td bgcolor=PowderBlue>当数据特征比样本点还多时，输入矩阵x不是满秩矩阵，岭回归就是在矩阵x.T*x加上λI，使其变成非奇异矩阵，即可逆。</td></tr></table>
  分析岭回归之前首先要说的一个共线性(collinearity)的概念，共线性是自变量之间存在近似线性的关系，这种情况下就会对回归分析带来很大的影响。因为回归分析需要我们了解每个变量与输出之间的关系，高共线性就是说自变量间存在某种函数关系，如果两个自变量（X1和X2）之间存在函数关系，那么当X1改变一个单位时，X2也会相应的改变，这样就没办法固定其他条件来对单个变量对输出的影响进行分析了，因为所分析的X1总是混杂了X2的作用，这样就造成了分析误差，所以回归分析时需要排除高共线性的影响。
  高共线性的存在可以通过以下几个方式来确定：
1. 尽管从理论上讲，该变量与Y高度相关，但是回归系数却不明显
2. 添加或删除X特征变量时，回归系数会发生明显变化
3. X特征变量具有较高的成对相关性（pairwise correlations）(检查相关矩阵)
  标准线性回归的优化函数如下：
$$min||Xw−y||2 $$
  其中X表示特征变量，w表示权重，y表示真实情况。岭回归是针对模型中存在的共线性关系的为变量增加一个小的平方偏差因子(也就是正则项)，可以表示成下面的式子：
$$ min||Xw−y||2+z||w||2 $$
这样的平方偏差因子向模型中引入了少量偏差，但大大减少了方差。
  领回归的特点:
1. 领回归的假设和最小平方回归相同，但是在最小平方回归的时候我们假设数据服从高斯分布使用的是极大似然估计(MLE)，在领回归的时候由于添加了偏差因子，即w的先验信息，使用的是极大后验估计(MAP)来得到最终的参数
2. 没有特征选择功能
## 4.Lasso回归
  Lesso与岭回归非常相似，都是在回归优化函数中增加了一个偏置项以减少共线性的影响，从而减少模型方程。不同的是Lasso回归中使用了绝对值偏差作为正则化项，Lasso回归可以表示成下面的式子：
$$min||Xw−y||2+Z||w|| $$
  岭回归和Lasso回归之间的差异可以归结为L1正则和L2正则之间的差异：
  内置的特征选择(Built-in feature selection):这是L1范数很有用的一个属性，二L2范数不具有这种特性。因为L1范数倾向于产生系数系数。例如，模型中有100个系数，但其中只有10个系数是非零系数，也就是说只有这10个变量是有用的，其他90个都是没有用的。而L2范数产生非稀疏系数，所以没有这种属性。因此可以说Lasso回归做了一种参数选择形式，未被选中的特征变量对整体的权重为0。
  稀疏性：指矩阵或向量中只有极少个非零系数。L1范数具有产生具有零值或具有很少大系数的非常小值的许多系数的属性。
  计算效率：L1范数咩有解析解，但L2范数有。这使得L2范数的解可以通过计算得到。L1范数的解具有稀疏性，这使得它可以与稀疏算法一起使用，这使得在计算上更有效率。
##5.弹性网络回归(ElasticNet Regression)
  弹性回归网络是Lesso回归和岭回归技术的混合体。它使用了L1和L2正则化，也达到了两种技术共有的效果，弹性回归网络的表达式如下：
$$min||Xw−y||2+z1||w||+z2||w||2 $$
  在Lasso和岭回归之间进行权衡的一个实际是运行弹性网络在循环的情况下继承岭回归的一些稳定性。
弹性回归网络的优点：
1. 鼓励在高度相关变量的情况下的群体效应，而不像Lasso那样将其中一些置为0.当多个特征和另一个特征相关的时候弹性网络非常有用。Lasso倾向于随机选择其中一个，而弹性网络倾向于选择两个。
2. 对所选变量的数量没有限制。
