RSA算法-实例分析
主要讲解5个问题：
一，6步生成公钥和私钥
二，明文X的加密成密文Y与密文Y的解密
三，实例分析
四，为什么说RSA是安全的？
五，需要知道一点数论知识：
（1）互质：这个小学就学过了，如果两个正整数，除了1之外，没有其他公因子，就称这两个数是互质关系（coprime）
(2) 欧拉函数：思考（任意给定一个正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成关系？比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以Φ（n）表示。在1到8之中，与8形成的互质关系的是1，3，5，7，所以Φ（n）= 4。
一，（6步）
1，首先选两个大素数，p,q
2，计算n，n = p*q
3，计算欧拉函数Φ（n）= (p-1)(q-1)
4，随机取整数e，且1<e<Φ（n），e与Φ（n）互质
5，计算秘密值d，由de ≡ 1modΦ（n），，≡ 为互余符号即≡号两边的数有相同的余数
6，公钥PK = (e,n)，私钥SK = (d,n)
二，设明文为X，密文为Y
则密文X经过加密之后的密文Y = Xemod n
密文Y经过解密可得到明文X = Ydmod n
三，举个例子说明一下：
1，为了方便计算，首先我们选取两个小的素数，p = 3,q = 11
2，计算n，n = p*q = 3*11 = 33（100001这才六位二进制数，一般都是1024位，重要的文件有2048位的）
3，求出欧拉函数Φ（n） = （p-1）（q-1）= (3-1)(11-1) = 20
4，取一个随机数e=3,(1<e<20且e与20互质)
5，计算秘密数d,de ≡ 1mod Φ（n）因为1modΦ（n）= 1 恒成立，则此算式可以写成de modΦ（n）= 1
即3d mod 20 = 1 一个个试数解得d = 7
6，综上得，公钥PK = （3，33），私钥SK = （7，33）
假设明文X= key，首先我们需要把它转换成ASCII码
| 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | k | l | m |
| 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
| n | o | p | q | r | s | t | u | v | w | x | y | z |
这里我们需要注意：如果X过大，则需要对其尽行分组，如本题X——11，05，25
对X进行加密的密文Y= Xe mod n 即 Y=X3 mod 33 ——>113mod 33 = Y mod 33 得Y= 11
053mod 33 = Y mod 33 得Y= 26
253mod 33 = Y mod 33 得Y= 16
对Y进行解密的明文X= Ydmod n 即 X = Y7mod 33——>117mod 33 = X mod 33 得X= 11
267mod 33 = X mod 33 得 X= 05
167mod 33 = X mod 33得 X= 25
四，为什么说RSA是安全的呢？
我们知道此过程一共用到了6个数 p，q，n，Φ（n），e，d
而公钥中的e,n是公开的，其余4个数我们是不知道的
假如我们采取暴力破解的方法：我们只需要解出d，也就知道了私钥
1，要解出d，de= 1mod Φ（n），需要解出e,Φ（n）
2，Φ（n）= （p-1)（q-1）,需要解出p,q
3，n = p*q,也即是需要对n 进行分解，由上面的实例，我们也许可能回想，这不是很简答的事吗，但是当p,q超级大时，而我们目前的技术还无法分解两个超大素数
所以，就目前来说，时安全的。
而目前被破解的最长RSA密钥是（232个十进制数）768个二进制数，而我们用的一般为1024位或者2048位。所以限制人类分解大整数的是计算机的计算能力，相信如果有一天真正的量子计算机问世后，又会引发一轮安全加密竞赛。
