实数连续性点滴

说起实数， 大概我们心中都会隐约闪过一些概念和性质， 如实数连续性、可分为有理数和无理数等, 但如果要给实数一个准确严格的定义， 你又是否可以回想得起呢?

实数的定义， 通常是从有理数中扩域构造出来的， 最常用的有两种：戴德金分割和柯西序列。 所谓的戴德金分割， 是这样定义的：

若把一个有序的数系S分成A、B两类， 满足

1）A、 B 非空 

2）A ∩ B = Ø  且 A ∪ B = S

3）任意a ∈ A， b ∈ B 有， a　<  b

则记 A | B 为S的一个划分。

令S = Q（有理数集）， 对于每一个分割A|B， 我们可以证明， 存在且仅存在一个实数c， 满足

对于任意a ∈ A， b ∈ B 有 a <= c <= b

而通过这样的分割， 我们可以定义每一个实数c， 记

c = F(A|B)

 

而柯西序列的定义是这样的：

数系S， 如果有数列{xn}， 满足任意ε > 0, 存在N， 当m, n > N, 有|xm - xn| < ε, 称{xn}为S的基本序列或柯西列。 

不难证明， 柯西列必存在极限， 而每一个极限相同的柯西列定义为一个等价类。而通过有理数集Q中的个等价类， 我们都可以找到对应的实数， 所以我们可以使用柯西序列的等价类来定义实数。

无论是通过分割还是柯西序列的定义的实数系R， 我们可以得出下面7个等价命题：

1）【戴德金实数连续性定理】 对于R的任一划分A|B， 都存在唯一实数r， 任意a ∈ A， b ∈ B 有 a <= c <= b

2）【确界性定理】非空有上（下）界的数集必有上下确界

3）【单调有界收敛定理】任何单调有界数集必有极限

4）【区间套定理】设{[an, bn]}为一区间套， 则必存在唯一的实数r， 使r ∈  ∩[ai, bi]

5）【有限覆盖定理】 实数闭区间[a, b]任一个开覆盖E， 必存在有限子覆盖

6）【紧致性定理】有界数列必有收敛子数列

7）【柯西收敛定理】实数系R中， 数列{xn}存在极限的充要条件是{xn}是柯西数列