牛客网剑指offer第41题——和为s的连续正数序列
题目：
小明很喜欢数学,有一天他在做数学作业时,要求计算出9~16的和,他马上就写出了正确答案是100。但是他并不满足于此,他在想究竟有多少种连续的正数序列的和为100(至少包括两个数)。没多久,他就得到另一组连续正数和为100的序列:18,19,20,21,22。现在把问题交给你,你能不能也很快的找出所有和为S的连续正数序列? Good Luck!
这道题的解法有很多。其实很多人看到算法题的时候，都会有自己的第一思维方式，这个思维方式是很重要的。
那我的第一思维方式是什么？连续正数序列求和，等差数列求和！！！这导致我直接想从等比数列的求和表达式中得到有用信息。题目说是最少有两个数。那么最多有多少呢？我们知道，这个序列额平均值越小，自然项数越多。但最多是多少呢？因为题目说是整数序列，那么最小的序列就是1+2+3...+n = s;此时可以得到最大的n。即
n(n+1)/2 = sum;因此可以得到：n(n+1) = 2*sum;所以，n2<2*sum;所以，n<=(int)sqrt(2*sum);也就是可以找到n的上界。这样我们只需要对n在[2,(int)sqrt(2*sum)]之间进行遍历即可。
经过上一步，我们缩小了n的遍历范围；现在问一个问题：2,(int)sqrt(2*sum)]之间所有的n都满足求和等于sum吗。显然不可能，只有一些满足某些特性的n才能保证连续序列求和为n。
那么我们应该从哪方面入手呢？
我们先从n入手吧，n无非是分为奇数和偶数的情况。那我们就先从n为奇数和偶数入手吧。
1.n为奇数，当n为奇数的时候。
如果连续奇数个正数和等于sum。此时有一个性质。sum/n等于这串数据的平均数。为何？因为(a1+an)/2*n=sum;(a1+an)/2 = sum/n；(a1+an)/2 就是最中间的那个数。学过高中数学的应该都懂这个，即使没学过，也没关系。(a1+an)/2；要么为整数，要么为小数，小数部分是0.5；而一个小数部分为0.5的小数乘以一个奇数。得到的仍然是小数部分你是0.5的小数，不可能等于sum.因此，当n为奇数的时候，若从a1到an连续n个数之和等于sum，（a1+an）/2必为整数，且为中间数。换言之，若n为奇数，且a1,a2....an之和为sum，则sum/n等于中间那个数。进一步，sum%n == 0(都说了可以除尽，等于中间那个数了)。因此我们将 ：n%2 ==1 && sum%n==0 作为n为奇数时，连续奇数个正数和为sum的必要条件。
2.n为偶数。当n为偶数的时候
我们还是来看看sum/n这个数是多少，很明显的一个问题是：当n为偶数的时候，(a1+an)/2是等于序列中间两个数的平均数。那么自然小数部分是0.5。比如序列:1,2,3,4;(1+4)/2=(2+3)/2 = 2.5。也就是说：(a1+an)/2 = sum/n=x(x的小数部分为0.5，x为序列中间两个数的平均数)。sum/n为小数，小数部分是0.5.那么sum%n等于多少呢？我们将sum/n表示为:sum/n = (a+0.5)(其中a表示整数部分)。则sum = n*a+n/2;也就是说sum%n = n/2;换言之，我们可以将n%2 == 0 && sum%n = n/2作为n为偶数时，连续偶数个正数和为sum的必要条件
话不多说，上代码：
1 class Solution { 2 public: 3 vector<vector<int> > FindContinuousSequence(int sum) { 4 //思路：从数学通项求，找出一定的规律 5 vector<vector<int> >res; 6 for(int n = (int)sqrt(2*sum);n>=2;n--) 7 {//确定满足条件的n 8 if(n%2==1 && sum%n==0 ||(sum%n)*2 == n)//n为满足条件的奇数 9 { 10 vector<int> son_res; 11 for(int i = sum/n-(n-1)/2,j=0;j < n;i++,j++) 12 son_res.push_back(i); 13 res.push_back(son_res); 14 } 15 } 16 return res; 17 } 18 };
可见，代码十分的简洁!
总结一下思路：
第一步：从数列的特性入手，缩小项数n的查找范围
第二步：将n分为奇数和偶数时分别考虑
第三步：分别考虑范围内奇数条件下的n和偶数条件下的n有何特点才能保证序列之和等于sum
