bzoj2306: [Ctsc2011]幸福路径（倍增+Floyed 逼近答案）
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bzoj2306: [Ctsc2011]幸福路径##
Time Limit: 10 Sec
Memory Limit: 256 MBDescription###
有向图 G有n个顶点 1, 2, …, n，点i 的权值为 w(i)。现在有一只蚂蚁，从给定的起点 v0出发，沿着图 G 的边爬行。开始时，它的体力为 1。每爬过一条边，它的体力都会下降为原来的 ρ 倍，其中ρ 是一个给定的小于1的正常数。而蚂蚁爬到某个顶点时的幸福度，是它当时的体力与该点权值的乘积。
我们把蚂蚁在爬行路径上幸福度的总和记为 H。很显然，对于不同的爬行路径，H 的值也可能不同。小 Z 对 H 值的最大可能值很感兴趣，你能帮助他计算吗？注意，蚂蚁爬行的路径长度可能是无穷的。
Input###
每一行中两个数之间用一个空格隔开。
输入文件第一行包含两个正整数 n, m，分别表示 G 中顶点的个数和边的条数。
第二行包含 n个非负实数，依次表示 n个顶点权值 w(1), w(2), …, w(n)。
第三行包含一个正整数 v0，表示给定的起点。
第四行包含一个实数 ρ，表示给定的小于 1的正常数。
接下来 m行，每行两个正整数 x, y，表示<x, y>是G的一条有向边。可能有自环，但不会有重边。
Output###
仅包含一个实数，即 H值的最大可能值，四舍五入到小数点后一位。
Sample Input###
5 5
10.0 8.0 8.0 8.0 15.0
1
0.5
1 2
2 3
3 4
4 2
4 5
Sample Output###
18.0
HINT###
对于 100%的数据， n ≤ 100， m ≤ 1000， ρ ≤ 1 – 10^-6， w(i) ≤ 100 (i = 1, 2, …, n)。
题目地址： bzoj2306: [Ctsc2011]幸福路径
题目大意：
给定⼀张有向图，每个点有个权值，蚂蚁从某个点开始，初始体⼒为1，每经过⼀条边，体⼒会变为原来的p(0<p<1)倍，每爬到⼀个点，获得的幸福度为该点的权值乘上体⼒。求蚂蚁幸福度的最⼤值，保留⼀位⼩数。
题解：
考虑到体力衰减很快，所以我们只要做有限次数的如下 \(dp\) 即可
令 \(f[t][i][j]\) 表示⾛ \(2^t\) 步，从 \(i\) ⾛到 \(j\) 获得的最⼤幸福度。
$$f[t][i][j]=max(f[t-1][i][k]+f[t-1][k][j]*p{2{t-1}})$$
当 \(t\) ⾜够⼤时， \(f\) 得到的就近似为最⼤的幸福值。
或者说当 \(p<eps\) 时，得到的就近似为最⼤的幸福值。
AC代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=105;
int n,m,S;
double p,ans=0,val[N],f[N][N],g[N][N];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lf",&val[i]);
scanf("%d",&S);
scanf("%lf",&p);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(i!=j)f[i][j]=-1e100;
while(m--){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
f[u][v]=val[v]*p;
}
for(;p>1e-10;p*=p){
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
g[i][j]=-1e100;
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
g[i][j]=max(g[i][j],f[i][k]+f[k][j]*p);
memcpy(f,g,sizeof(g));
}
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=max(ans,f[S][i]);
printf("%.1f\n",ans+val[S]);
return 0;
}
