BZOJ 4318 OSU!期望DP

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4318: OSU!##

　　Time Limit: 2 Sec Memory Limit: 128 MB

Description###

　　osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。
　　我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:
　　一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1>不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释）
　　现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。

Input###

　　第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。

Output###

　　只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。

Sample Input###

　　3
　　0.5
　　0.5
　　0.5

Sample Output###

　　6.0

HINT###

【样例说明】
　　000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0
　　N<=100000

题目地址 BZOJ 4318 OSU!
题目大意：长度为n的串，每个位置上出现1的概率为pi，连续k个1能得到\(k^3\)的分数，现在求总得分的期望

此题与我另外一篇博客相似CodeForces 235B Let's Play Osu!（概率）
只不过这道题是3次方，codeforces里是2次方（做不粗来的同学可以先切了那道题：）

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题解：
我们知道，如果原先长度为k的一个全1串，长度增加1，那么答案就多\((x+1)^3-x^3=3\times x^2+3\times x+1\),显然k是一个期望长度。
然而让人伤心的是：平方的期望不等于期望的平方
g1表示一次项的期望长度，g2表示二次项的期望长度
因为\((x+1)-x=1\) 所以 \(g_1[i]=(g_1[i-1]+1)*p[i];\)

因为\((x+1)^2-x^2=2\times x+1\) 所以 \(g_2[i]=(g_2[i-1]+2*g_1[i-1]+1)*p[i];\)
答案显然可得。具体见标程。www.cnblogs.com/shaokele/

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AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n;
double ans;
double p[N],g1[N],g2[N];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf",&p[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		g1[i]=(g1[i-1]+1)*p[i];                    //期望长度
		g2[i]=(g2[i-1]+2*g1[i-1]+1)*p[i];          //平方的期望长度   平方的期望！= 期望的平方
		ans+=(3*g2[i-1]+3*g1[i-1]+1)*p[i];
	}
	printf("%.1lf",ans);
	return 0;
}