全序矩阵

名字我瞎起的。

给出两个序列 $a_1,\dots,a_n$ 和 $b_1,\dots,b_m$，元素均属于一个全序集。

构造 $01$ 矩阵 $M_{i,j}=[a_i<b_j]$。

性质：

（一）$M$ 可以通过行、列重排（具体地：将 $a,b$ 分别排序）得到一个阶梯的值是 $1$ 的矩阵。
（二）$M$ 任意两行一定是子集-超集关系。
（三）$M$ 任意两列一定是子集-超集关系。
（四）不存在 $2\times 2$ 的子矩阵（不要求连续）使得一个对角线是 $0$，另一对是 $1$。
（五）前四条性质和定义互为充要条件。

考虑这样的问题：将值为 $1$ 的位置看作障碍，能否从 $(1,1)$ 四连通地走到 $(n,m)$？

考虑一个经典的网络流建模：从左侧、下侧流到右侧、上侧，两个八连通的位置之间建边，最大流就是最少要移除的障碍数。

若原问题走不到，随便找一条流，按照起点终点分类：

左侧 $\to$ 右侧

八连通地经过值为 $1$ 的位置，设经过的行编号的区间为 $[d,u]$，由性质（二），

$$\exists x\in[d,i]\ \forall y\in[1,m]\ M_{x,y}=1$$

下侧 $\to$ 上侧 同理于上文。

左侧 $\to$ 上侧

设经过行区间 $[d,u]$，列区间 $[l,r]$，由性质（二）和（三），存在 $x,y$ 使得

$$M_{x,1},\dots,M_{x,y-1},M_{x,y},M_{x-1,y},\dots,M_{1,y}$$

全是 $1$（一个“L”形）。

下侧 $\to$ 右侧 同理于上文。

同样地，我们来证明若能走到，一定存在一条右下路径。

套用上述证明的调整法+子集求并的思路，一定存在一行一列分别全是 $0$，然后就可以将路径调整成不经过“一三象限”，对“二四象限”递归证明即可。

[NOIP2023] 双序列拓展：用上面的结论做完了。

XXI Open Cup, Grand Prix of Korea B. Cactus Competition：$a_i+b_j\ge 0\implies -a_i-1<b_j$，然后用上面结论，然后二分啥的维护。