开普勒一、二定律的（非常不严谨）证明

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首先是一个几何题，我们最后会回收这个作为伏笔的题目：

给定一个圆（圆心为 $O$）和一个圆内的点 $P$，任取圆周上一点 $Q$，则 $P,Q$ 的中垂线必切以 $O,P$ 为两焦点的椭圆。

证明用到了将军饮马和椭圆上点到两焦点距离和不变。

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角动量守恒定律、作用在行星上的引力直接指向太阳 作为前置知识。

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我们先证明开二定律。

行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。

在极短的时间 $\Delta t$ 中，行星的轨迹看作直线，扫过的面积看作三角形（微积分状物）。

然后底乘高 $/2$ 算三角形面积。

$$S_{\Delta}=\frac{1}{2} R\times |\vec{v}_{\perp}|\Delta t =R|\vec{v}_{\perp}|\times \frac{1}{2} \Delta t$$

由于太阳施加的引力总是指向太阳，行星质量不变，所以 $R|\vec{v}_{\perp}|$ 为不变的常数。

然后我们就证完了，因为面积和时间成正比了。

（然而历史中开二才是推出角动量守恒的经验基础）

接着看开一：

所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

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万有引力定律、牛顿第二定律 作为前置知识。

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接下来讲的多数是我自创的 qwq。

我们将以太阳为中心，共 $2\pi$ 角度平均分为 $k$ 个扇区（其实不是扇形），每份所属角度均为 $\frac{2\pi}{k}$。

注意这里 $k\to \infty$。

用我们刚刚证明的开二，得到经过一个扇区的时间正比于这个扇区的面积，而面积又正比于 $R^2$（这里取哪个 $R$ 是无关紧要的）。

行星每走完一个扇区我们就记录一下当前的速度向量，得到的是一个序列

$$\{\vec{v}_0,\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_{k-1}\}$$

循环差分一下得到新的一个序列

$$\{\vec{w}_0,\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_{k-1}\}$$

由于 $\vec F=m\vec a$，我们 $\{\vec w\}$ 每一个元素在极限下必然指向太阳。

而 $|\vec w_i|=\Delta t\times |\vec a|=\Delta t\times \frac{|\vec F|}{m}$，由于 $\Delta t$ 正比于 $R^2$，而 $|\vec F|$ 由于万有引力定律正比于 $R^{-2}$，所以 $|\vec w_i|$ 均相同。

然后做一遍前缀和状物，得到速度向量：

（自行脑部最后一根）

（黄色是 $\{\vec w\}$，红蓝是 $\{\vec v\}$）

刚刚其实已经透露了，$\{\vec w\}$ 的角度等差，所以我们最后做出来一个正多边形，极限看作是圆。

然后我们就得到了：在轨迹中角度为 $\theta$ 的地方，速度向量为这个圆心角为 $\theta$ 对应的偏心向量，这告诉了我们这个轨道上的点的切线方向。

那么现在的问题就是：什么样的轨道满足这样的性质：

曲线与水平方向成 $\theta$ 角的点上切线的方向，是由一个从圆内的一个特殊离心点到圆上垂直偏转 $\theta$ 度的点连成的这个矢量所给定的。

（statement 很长，好好想想）

我们将左图顺时针旋转 $\frac{\pi}{2}$。

然后将这些速度向量逆时针旋转（中心旋转） $\frac{\pi}{2}$ 转回原来的角度。

我们证明由无数直线切成的椭圆形相似于我们轨道。

回收伏笔了属实是。

重点在于，这条中垂线切于椭圆的点正好是交于半径的那个点（因为将军饮马，两点间线段最短）。

其实证明好像是有点问题的，因为如果非中心旋转在这些已知条件中好像也是合理的，所以不能判断一定为椭圆。

比如按 $1/4$ 或 $1/3$ 旋转，就明显不是椭圆。

因为我们没用到每个位置瞬时速度的大小这个条件。

问出去了。

好像不是这个渠道，算了摆。