开普勒一、二定律的（非常不严谨）证明

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首先是一个几何题，我们最后会回收这个作为伏笔的题目：

给定一个圆（圆心为 \(O\)）和一个圆内的点 \(P\)，任取圆周上一点 \(Q\)，则 \(P,Q\) 的中垂线必切以 \(O,P\) 为两焦点的椭圆。

证明用到了将军饮马和椭圆上点到两焦点距离和不变。

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角动量守恒定律、作用在行星上的引力直接指向太阳 作为前置知识。

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我们先证明开二定律。

行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。

在极短的时间 \(\Delta t\) 中，行星的轨迹看作直线，扫过的面积看作三角形（微积分状物）。

然后底乘高 \(/2\) 算三角形面积。

\[S_{\Delta}=\frac{1}{2} R\times |\vec{v}_{\perp}|\Delta t =R|\vec{v}_{\perp}|\times \frac{1}{2} \Delta t \]

由于太阳施加的引力总是指向太阳，行星质量不变，所以 \(R|\vec{v}_{\perp}|\) 为不变的常数。

然后我们就证完了，因为面积和时间成正比了。

（然而历史中开二才是推出角动量守恒的经验基础）

接着看开一：

所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

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万有引力定律、牛顿第二定律 作为前置知识。

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接下来讲的多数是我自创的 qwq。

我们将以太阳为中心，共 \(2\pi\) 角度平均分为 \(k\) 个扇区（其实不是扇形），每份所属角度均为 \(\frac{2\pi}{k}\)。

注意这里 \(k\to \infty\)。

用我们刚刚证明的开二，得到经过一个扇区的时间正比于这个扇区的面积，而面积又正比于 \(R^2\)（这里取哪个 \(R\) 是无关紧要的）。

行星每走完一个扇区我们就记录一下当前的速度向量，得到的是一个序列

\[\{\vec{v}_0,\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_{k-1}\} \]

循环差分一下得到新的一个序列

\[\{\vec{w}_0,\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_{k-1}\} \]

由于 \(\vec F=m\vec a\)，我们 \(\{\vec w\}\) 每一个元素在极限下必然指向太阳。

而 \(|\vec w_i|=\Delta t\times |\vec a|=\Delta t\times \frac{|\vec F|}{m}\)，由于 \(\Delta t\) 正比于 \(R^2\)，而 \(|\vec F|\) 由于万有引力定律正比于 \(R^{-2}\)，所以 \(|\vec w_i|\) 均相同。

然后做一遍前缀和状物，得到速度向量：

（自行脑部最后一根）

（黄色是 \(\{\vec w\}\)，红蓝是 \(\{\vec v\}\)）

刚刚其实已经透露了，\(\{\vec w\}\) 的角度等差，所以我们最后做出来一个正多边形，极限看作是圆。

然后我们就得到了：在轨迹中角度为 \(\theta\) 的地方，速度向量为这个圆心角为 \(\theta\) 对应的偏心向量，这告诉了我们这个轨道上的点的切线方向。

那么现在的问题就是：什么样的轨道满足这样的性质：

曲线与水平方向成 \(\theta\) 角的点上切线的方向，是由一个从圆内的一个特殊离心点到圆上垂直偏转 \(\theta\) 度的点连成的这个矢量所给定的。

（statement 很长，好好想想）

我们将左图顺时针旋转 \(\frac{\pi}{2}\)。

然后将这些速度向量逆时针旋转（中心旋转） \(\frac{\pi}{2}\) 转回原来的角度。

我们证明由无数直线切成的椭圆形相似于我们轨道。

回收伏笔了属实是。

重点在于，这条中垂线切于椭圆的点正好是交于半径的那个点（因为将军饮马，两点间线段最短）。

其实证明好像是有点问题的，因为如果非中心旋转在这些已知条件中好像也是合理的，所以不能判断一定为椭圆。

比如按 \(1/4\) 或 \(1/3\) 旋转，就明显不是椭圆。

因为我们没用到每个位置瞬时速度的大小这个条件。

问出去了。

好像不是这个渠道，算了摆。