Dilworth 定理

由于东西比较多就搬出来。

在偏序集中，最小链覆盖等于最长反链。

名词	解释
链	$D$ 中的一个子集 $C$ 满足 $C$ 是全序集及 $C$ 中所有元素都可以比较大小
反链	$D$ 中的一个子集 $B$ 满足 $B$ 中任意非空子集都不是全序集，即所有元素之间都不可以比较大小
链覆盖	若干个链的并集为 $D$，且两两之间交集为 $\varnothing$
反链覆盖	若干个反链的并集为 $D$，且两两之间交集为 $\varnothing$
最长链	所有链中元素个数最多的 (可以有多个)
最长反链	所有反链中元素个数最多的 (可以有多个）
偏序集高度	最长链的元素个数
偏序集宽度	最长反链中的元素个数

$$最小链覆盖 = 最长反链长度 = 偏序集宽度$$

$$最小反链覆盖=最长链长度=偏序集深度$$

在偏序集形成 DAG 中，任意两个在链中的元素，一定可以从某一个点到达另外一个点。

任意两个在反链中的元素，互相都不能到达。