二次剩余

P5491 【模板】二次剩余

(Cipolla)sol

以下 $p$ 为奇素数。

以下默认 $a$ 非 $p$ 的倍数。

二次剩余判定：$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\pmod p$，二次非剩余则为 $-1$。二次剩余有 $\frac{p-1}{2}$（一半）个，且每个二次剩余有两个互为相反数的根。

在离散对数意义下考虑上文就很好懂。

对于二次剩余 $a$，随一个 $b$，使得 $b^2-a$ 为二次非剩余，则 $(b+\sqrt{b^2-a})^{p+1}\equiv n\pmod p$（之中根号扩域了），将指数折半就是根了。