二次剩余

P5491 【模板】二次剩余

(Cipolla)sol

以下 \(p\) 为奇素数。

以下默认 \(a\) 非 \(p\) 的倍数。

二次剩余判定：\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\pmod p\)，二次非剩余则为 \(-1\)。二次剩余有 \(\frac{p-1}{2}\)（一半）个，且每个二次剩余有两个互为相反数的根。

在离散对数意义下考虑上文就很好懂。

对于二次剩余 \(a\)，随一个 \(b\)，使得 \(b^2-a\) 为二次非剩余，则 \((b+\sqrt{b^2-a})^{p+1}\equiv n\pmod p\)（之中根号扩域了），将指数折半就是根了。