重修 Lucas & exLucas

Lucas

内容

$$\binom{ap+b}{cp+d}\equiv\binom{a}{c}\binom{b}{d}\pmod{p}$$

其中 $p$ 为素数，$0\le b,d<p$。

也就是说将两个数分别 $p$ 进制分解，对应位形成的组合数相乘。

推论（重要）

当 $p=2$ 时有

$$\binom{n}{m}\equiv[m\subseteq n]\pmod{2}$$

其中 $\subseteq$ 表示二进制（相当于状压）的包含。

证明

以下等号均指 $\bmod p$ 意义下相等。

$$\begin{aligned} \binom{ap+b}{cp+d}&=[x^{cp+d}](x+1)^{ap+b} \\&=[x^{cp+d}]((x+1)^p)^a(x+1)^b \\&=[x^{cp+d}](x^p+1)^a(x+1)^b \\&=([x^{cp}](x^p+1)^a)([x^d](x+1)^b) \\&=([x^c](x+1)^a)([x^d](x+1)^b) \\&=\binom{a}{c}\binom{b}{d} \end{aligned}$$

其中

$$(x+1)^p\equiv x^p+1\pmod p$$

可用二项式定理证明。

exLucas

将模数 $M$ 素因数分解，设当前枚举到因子 $p^e$，则求出 $\binom{n}{m}\bmod p^e$ 后 CRT 即可。

$$\binom{n}{m}\equiv\frac{n!}{m!(n-m)!}\equiv \frac{\frac{n!}{p^x}}{\frac{m!}{p^y}\frac{(n-m)!}{p^z}}p^{x-y-z}\pmod{p^e}$$

其中 $x,y,z$ 分别为三个阶乘中 $p$ 因子的个数，由于组合数为整数，$x-y-z\ge 0$。

此时分母中两部分都是与 $p^e$ 互质的整数了，存在逆元（exgcd）。所以我们只需要求出 $F(n)=\frac{n!}{p^x}\bmod p^e$ （$x$ 为 $n!$ 中 $p$ 因子个数）即可。

通过拆分 $n!$ 连乘中 $p$ 的倍数，非 $p$ 倍数的循环节和余项，得：

$$n!= p^{\lfloor n/p\rfloor} (\lfloor\frac{n}{p}\rfloor)! \left(\prod_{i=1,p\not\mid i}^{p^e}i\right)^{\lfloor n/p^e\rfloor} \prod_{i=1,p\not\mid i}^{n\bmod p^e}i$$

所以

$$F(n)=F(\lfloor\frac{n}{p}\rfloor) \left(\prod_{i=1,p\not\mid i}^{p^e}i\right)^{\lfloor n/p^e\rfloor} \prod_{i=1,p\not\mid i}^{n\bmod p^e}i$$

边界条件 $F(0)=1$。