多项式

目录

• 乘法逆
  • 题面
  • 倍增
  • 牛迭
  • 代码 / 时间复杂度
• 乘转加
  • 例题
  • 做法
• 导数积分
• ln & exp

乘法逆

题面

P4238 【模板】多项式乘法逆

给定一个多项式 $F(x)$，请求出一个多项式 $G(x)$， 满足 $F(x) * G(x) \equiv 1 \pmod{x^n}$。

系数对 $998244353$ 取模。

为方便 NTT 和倍增，不妨设 $n$ 为 $2$ 的幂。

我们有两种方法。

倍增

首先，若 $n=1$，答案为 $[x^0]F(x)$ 的乘法逆元。

假设我们求出了 $\bmod x^{n/2}$ 的逆，设为 $H(x)$。

接下来就是柿子环节

$$\begin{aligned} FH&\equiv 1\pmod{x^{n/2}} \\ FH-1&\equiv 0\pmod{x^{n/2}} \\ (FH-1)^2&\equiv 0\pmod{x^n} \\ F^2H^2-2FH+1&\equiv 0\pmod{x^n} \\ 2FH-F^2H^2&\equiv 1\pmod{x^n} \\ F(2H-FH^2)&\equiv 1\pmod{x^n} \\ G&\equiv 2H-FH^2\pmod{x^n} \end{aligned}$$

我们就得到了递推式。

牛迭

Konata：多项式牛顿迭代法，不止用来求逆用的。

Konata：求逆的话就是在上面证明基础上直接用就好了。

代码 / 时间复杂度

注意多项式项数 / 边界等细节，可看注释。

record

时间：

$$T(n)=T(\frac{n}{2})+n\log n$$

由主定理，时间复杂度为 $O(n\log n)$。

乘转加

例题

P3321 [SDOI2015]序列统计

题面够简化了，不需要再补充了。

做法

如果将「数列中所有数的乘积」改成「加和」那就好做了，将 $S$ 中的元素移到 $x$ 的指数上去然后多项式快速幂即可。

但是这里是「乘积」，咋办？

首先，因为题目要求最后的结果（题面中的 $x$）不是 $0$，所以我们可以把 $S$ 中的 $0$ 全部删去。

其次，由于 $m$ 是素数，这篇说到只有 $1,2,4,p^k,2p^k$（$p$ 为奇素数）有原根。

$\bmod p(p\in\text{prime})$ 意义下的乘法可以转化为 $\bmod (p-1)$ 意义下的加法，转化途径就是原根。

也就是说，我们本来的思路是 $\log(xy)=\log(x)+\log(y)$ 用对数转化的，但是我们只支持自然数啊。所以我们打算「以原根为底求 $\log$」设我们求出 $m$ 的原根有 $g$，我们把 $1,\dots,m-1$ 都表示为

$$g^{k}\bmod m\quad(k\in[0,\varphi(m)-1(=m-2)]\cap\mathbb{N})$$

的形式，这时她的对数就是这里的指数 $k$。

所以我们把这个对数放到 $x$ 的指数上去，然后多项式快速幂即可，注意我们每次将多项式压进 $x$ 指数 $\bmod (m-1)$ 的同余系里。

record

导数积分

$$\frac{d\, x^n}{d\, x}=nx^{n-1}$$

$$\int x^n d\, x=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

ln & exp

$$\begin{aligned} G&=\exp F \\ G'&=F'\exp F \\ G'&=F'G\quad ^{\dagger} \\ F&=\int\frac{G'}{G} \\ \ln G&=\int\frac{G'}{G} \end{aligned}$$

$\ln G$ 有意义 $\iff [x^0]G=1$

$\exp F$ 有意义 $\iff [x^0]F=0$

用多项式乘法逆即可线性对数求出多项式 $\ln$。

更好写的 $O(n^2)$ 多项式 $\exp$ 求法：

设 $f_i=[x^i]F,g_i=[x^i]G$，由 $\dagger$ 式得：

$$(i+1)g_{i+1}=\sum_{j=0}^i(i-j+1)f_{i-j+1}g_j\quad(i\ge 0,g_0=1)$$

将上式移项有 $O(n^2)$ 多项式 $\ln$ 求法：

$$(i+1)g_0f_{i+1}=(i+1)g_{i+1}-\sum_{j=1}^ijg_{i+1-j}f_j\quad(i\ge 0,f_0=0)$$