重修 LGV

OI wiki

一般用于不相交路径计数。

发现好像例题不多。

P6657 【模板】LGV 引理

有一个 $n\times n$ 的棋盘，左下角为 $(1,1)$，右上角为 $(n,n)$，若一个棋子在点 $(x,y)$，那么走一步只能走到 $(x+1,y)$ 或 $(x,y+1)$。

现在有 $m$ 个棋子，第 $i$ 个棋子一开始放在 $(a_i,1)$，最终要走到 $(b_i,n)$。问有多少种方案，使得每个棋子都能从起点走到终点，且对于所有棋子，走过路径上的点互不相交。输出方案数 $\bmod\ 998244353$ 的值。

两种方案不同当且仅当存在至少一个棋子所经过的点不同。

就是模板题。

发现只有 $a_i\to b_i$ 一一对应才有可能，所以直接行列式求值即为答案。

点击查看代码

//We'll be counting stars.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define fir first
#define sec second
#define mkp make_pair
#define pb emplace_back
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define For(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define Rof(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define Fe(x,y) for(int x=head[y];x;x=e[x].nxt)
#define ckmx(a,b) a=max(a,b)
#define ckmn(a,b) a=min(a,b)
#define fin(s) freopen(s,"r",stdin)
#define fout(s) freopen(s,"w",stdout)
#define file(s) fin(s".in");fout(s".out")
#define ll long long
const ll mod=998244353;
inline ll pw(ll x,ll y){ll r=1;while(y){if(y&1)r=r*x%mod;x=x*x%mod;y>>=1;}return r;}
inline void mad(ll &a,ll b){a=(a+b)%mod;while(a<0)a+=mod;}
inline void mmu(ll &a,ll b){a=(a*b)%mod;while(a<0)a+=mod;}
#define inv(a) pw(a,mod-2)
#define int long long
#define N 2000010
#define M 103
int f[N],ivf[N];
void init(){
	f[0]=1;
	For(i,1,N-1) f[i]=f[i-1]*i%mod;
	ivf[N-1]=inv(f[N-1]);
	Rof(i,N-1,1) ivf[i-1]=ivf[i]*i%mod;
}
inline int C(int x,int y){
	return f[x]*ivf[y]%mod*ivf[x-y]%mod;
}
int a[M][M],n,m,A[M],B[M];
bool flag;
inline void swa(int x,int y){
	flag^=1;
	For(i,1,m) swap(a[i][x],a[i][y]);
}
int Det(){//行列式求值模板 P7112
	flag=0;
	int tmp=0;
	For(i,1,m) For(j,i+1,m){
		while(a[i][j]){
			tmp=a[i][i]/a[i][j];
			For(k,1,m) mad(a[k][i],-a[k][j]*tmp);
			swa(i,j);
		}
	}
	int ans=1;
	For(i,1,m) mmu(ans,a[i][i]);
	return flag?(mod-ans)%mod:ans;
}
void work(){
	cin>>n>>m;
	For(i,1,m) cin>>A[i]>>B[i];
	For(i,1,m) For(j,1,m) a[i][j]=(A[i]<=B[j]?C(n-1+B[j]-A[i],n-1):0);
	cout<<Det()<<endl;
}
int32_t main(){IOS;
	init();
	int T;cin>>T;
	while(T--)work();
return 0;}

CF348D Turtles

有一个 $n\times m$ 的棋盘，其中某些格子可走，某些格子不可走。有两只海龟只能向下或向右走，求海龟从 $(1,1)$ 到 $(n,m)$ 路径不相交（除起点终点）的方案数取模之后的结果。

$2\le n,m\le 3000$

相当于一只从 $(2,1)$ 走到 $(n,m-1)$，另一只 $(1,2)$ 走到 $(n-1,m)$，反过来的话必定交叉。

所以我们

求完行列式即为答案（$f$ 的值 $O(nm)$ DP 求）。