重修分块和莫队

带修莫队

P1903 [国家集训队] 数颜色 / 维护队列

~~相信我会了~~，这里只考虑时间复杂度。

设我们块大小（ $l,r$ 两轴块大小）为 $B$ ，则时间复杂度为 $O$ 里面：

m (\frac{n}{B})^{2} + m B + \frac{n^{2}}{B}

$m(\frac{n}{B})^2+mB+\frac{n^2}{B}$

上柿为三维长方体 $x\in[1,n],y\in[1,n],z\in[1,m]$ 内 $m$ 个点以 $x,y$ 轴分别以 $B$ 块长分块后用一根每一段与某坐标轴平行的折线串起来，线以分块策略下的最劣情况长度。

（由于我不会画 3D 的图，所以自行脑补 qwq）

我们若规定 $m>>B$ ，则上述柿子变为

O (\frac{m n^{2}}{B^{2}} + m B)

$O(\frac{mn^2}{B^2}+mB)$

均衡一下得到 $B=n^{2/3}$ ，总复杂度为 $n^{2/3}m$ 。

~~为啥别的题解得到的 $B$ 和我的不一样捏。~~

回滚莫队

分成两种：只增加、只删除。

只删除的例题：P8078 [WC2022] 秃子酋长

二次离线莫队

设莫队单次修改的时间为 $t$ ，则二次离线莫队将莫队从 $O(nt\sqrt{n})$ 优化到 $O(nt+n\sqrt{n})$ ，当然前提是满足区间可减性。

例题：P4887 【模板】莫队二次离线

给你一个序列 $a$ ，每次查询给一个区间 $[l,r]$ ，查询 $l \leq i< j \leq r$ ，且 $popcnt(a_i \oplus a_j)=k$ 的二元组 $(i,j)$ 的个数. $\oplus$ 是指按位异或。 $n,q\le 10^5,0\le a_i,k<2^{14}$ 。

设 $m$ 为 $[0,V)$ 中 $popcnt=k$ 的个数，我们预处理这些数，最后时间复杂度也和 $m$ 有关。

设 $f(x,l,r)$ 表示

y \in [l, r], p o p c n t (a_{x} \oplus a_{y}) = k

$y\in[l,r],popcnt(a_x\oplus a_y)=k$

的 $y$ 的个数。

由于区间可减，得到

f (x, l, r) = f (x, 1, r) - f (x, 1, l - 1)

$f(x,l,r)=f(x,1,r)-f(x,1,l-1)$

所以下文用 $f(x,y)$ 来简写 $f(x,1,y)$ 。

只有当 $k=0$ 时 $popcnt(a_x\oplus a_x)=k$ ，所以得到

f (x, x) = f (x, x - 1) + [k = 0]

$f(x,x)=f(x,x-1)+[k=0]$

我们先正常莫队（甚至可以奇偶优化）。举个例子（莫队区间设为 $[L,R]$ ）。

当 $L$ 增大至 $l$ 时，此询问比上次减少

\begin{aligned} \sum_{x = L}^{l - 1} f (x, x + 1, R) & = \sum_{x = L}^{l - 1} f (x, R) - f (x, x) \\ = \sum_{x = L}^{l - 1} f (x, R) - \sum_{x = L}^{l - 1} (f (x, x - 1) + [k = 0]) \\ (p (x) := f (x + 1, x)) \\ = \sum_{x = L}^{l - 1} f (x, R) - \sum_{x = L}^{l - 1} (p (x - 1) + [k = 0]) \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{x=L}^{l-1} f(x,x+1,R)&=\sum_{x=L}^{l-1} f(x,R)-f(x,x) \\ &=\sum_{x=L}^{l-1} f(x,R)-\sum_{x=L}^{l-1} (f(x,x-1)+[k=0]) \\ &(p(x):=f(x+1,x)) \\ &=\sum_{x=L}^{l-1} f(x,R)-\sum_{x=L}^{l-1} (p(x-1)+[k=0]) \end{aligned}$

$L$ 增大、 $R$ 减小、 $R$ 增大同理，不再赘述。

我们可以用桶 $O(nm)$ 预处理出 $p(x)$ 。所以剩下的只要拎出 $\sum_{x=L}^{l-1} f(x,R)$ 类的东西求即可，最后再代回来算答案。

接下来就是二次离线部分了。

我们将每一个形如 $\sum_{x=l}^{r} f(x,i)$ 的询问挂在 $i$ 位置上。

然后再用桶扫，同时计算每个位置上的询问。

这部分是 $O(nm+n\sqrt{n})$ ， $n\sqrt{n}$ 是因为二级询问有 $O(n\sqrt{n})$ 个，每个只要 $O(1)$ 回答。

然后就做完了，总时间 $O(nm+n\sqrt{n})$ ，与开头说的相同。

例题代码：

点击查看代码

 //Said no more counting dollars. We'll be counting stars.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb emplace_back
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define For(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define Rof(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define int long long
#define N 100010
#define V 16384//值域 
vector<int> bu;//0~V-1 popcnt=k 的数 
int n,m,k,a[N],b[N],gap;
struct Que{
	int l,r,id,ans;//ans:比莫队中上次询问答案的增量 
	friend bool operator<(Que x,Que y){return b[x.l]==b[y.l]?((b[x.l]&1)?x.r<y.r:x.r>y.r):x.l<y.l;}
}q[N];
int p[N];//ct((i+1)->[1,i]) ct表示贡献 
int t[V];//桶 
int ans[N];//最终答案 
vector<tuple<int,int,int,int> > v[N];
//第一次莫队留下的询问v[i].<l,r,id,val>：[l,r] 区间中所有 x，sum ct(x->[1,i])，乘系数 val 贡献给询问 i 
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
	For(i,0,V-1) if(__builtin_popcount(i)==k) bu.pb(i);
	For(i,1,n) scanf("%lld",a+i); 
	For(i,1,m) scanf("%lld%lld",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
	gap=sqrt(n);
	For(i,1,n) b[i]=(i-1)/gap+1;
	sort(q+1,q+1+m); 
	For(i,1,n){
		for(int j:bu) t[a[i]^j]++;
		p[i]=t[a[i+1]];
	}
	int L=1,R=0,l,r;
	For(i,1,m){
		l=q[i].l,r=q[i].r;
        if(L<l)    v[R].pb(L,l-1,i,-1);
        while(L<l){q[i].ans+=p[L-1]+(!k);++L;} 
        
        if(R>r)    v[L-1].pb(r+1,R,i,1);
        while(R>r){q[i].ans-=p[R-1];     --R;}
        
        if(L>l)    v[R].pb(l,L-1,i,1);
        while(L>l){q[i].ans-=p[L-2]+(!k);--L;}
        
        if(R<r)    v[L-1].pb(R+1,r,i,-1);
        while(R<r){q[i].ans+=p[R];       ++R;}
	}
	mem(t,0);
	int id,val,tmp;
	For(i,1,n){
		for(int j:bu) t[a[i]^j]++;
		for(auto x:v[i]){
			tie(l,r,id,val)=x;
			For(j,l,r){
				tmp=t[a[j]];
				q[id].ans+=tmp*val; 
			} 
		}
	}
	For(i,1,m) q[i].ans+=q[i-1].ans;//累计 
	For(i,1,m) ans[q[i].id]=q[i].ans;//重排 
	For(i,1,m) printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;}

树上莫队（fake）

指的是平摊成欧拉序后在序列上做莫队。

树上莫队（real）

首先先得会树分块。

树分块：P2325 [SCOI2005]王室联邦

为了保证最终莫队复杂度的正确性，我们需要做到：

属于同一块的节点之间的距离不大。
每个块中的节点不能太多也不能太少。
每个节点都要属于一个块。
编号相邻的块之间的距离不能太大。

我们让树分块后依次顺序编号就正好满足了第四个条件了。

分块后的排序方法：若路径 $(u,v)$ 的 $u$ 的时间戳大于 $v$ 那么交换 $u,v$ 。然后按照 $u$ 所在块为第一关键字， $v$ 的时间戳为第二关键字排序。

注意这里有一个大坑点：

在指针移动的过程中，我们肯定是让移动前的位置和移动后的位置一起向 lca 靠近。然后利用 $vis$ 标记来
判断这个点是要进入区间还是出区间。

但是这个移动中会出现一个问题，移动时候如果跨过 lca 了会出问题，如下图。

我们按照上面步骤从 $(u,v)$ 移到 $(u',v')$ 的时候，两个 lca 都被标记了两次，也就是标记状态没有改变，这是错误的。

所以我们要把 lca 放到最后特判，单独更新。就解决问题了。

形象一点就是：因为若是边权这样处理没有问题，所以我们将树上路径点权移到它连向祖先的边上（这时候要删掉 lca 的点权），成功改为边权，然后正常移动，然后再变回点权（要把 lca 点权加回来）。

P4074 [WC2013] 糖果公园

这甚至是树上带修莫队~~太毒瘤了~~。

~~代码被我吃了。~~由于是缝合题，代码有点长，但是很好理解。

点击查看代码

 /*
* Author: ShaoJia
* Create Time:        2022-08-24 19:46:10
* Last Modified time: 2022-08-25 14:49:42
* Motto: We'll be counting stars.
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir first
#define sec second
#define mkp make_pair
#define pb emplace_back
#define For(i,j,k) for(int i=(j),i##_=(k);i<=i##_;i++)
#define Rof(i,j,k) for(int i=(j),i##_=(k);i>=i##_;i--)
#define ckmx(a,b) a=max(a,b)
#define ckmn(a,b) a=min(a,b)
#define debug(...) cerr<<"#"<<__LINE__<<": "<<__VA_ARGS__<<endl
#define int long long
char buf[1<<21],*p1,*p2;
#define gc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
inline int read() {
	int x=0,f=1;
	char c=gc();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=gc();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=gc();}
	return x*f;
}
//------------------------------------------
const int N=100005,gap=2000,C=16;
int b[N];
struct Que{
	int u,v,t,id;
	friend bool operator<(Que x,Que y){
		if(b[x.u]!=b[y.u]) return b[x.u]<b[y.u];
		if(b[x.v]!=b[y.v]) return b[x.v]<b[y.v];
		return x.t<y.t;
	}
}q[N];
struct Chan{ int x,lst,nxt; }c[N];
vector<int> e[N];
int n,m,qt=0,v[N],w[N],a[N],s[N],st=0;
int f[N][C+1],dep[N],bl=0,tim=0,now,ans[N],vis[N],cnt[N];
void dfs(int rt,int fa){
	dep[rt]=dep[fa]+1;
	f[rt][0]=fa;
	For(i,1,C) f[rt][i]=f[f[rt][i-1]][i-1];
	int tmp=st;
	s[++st]=rt;
	for(int i:e[rt]) if(i!=fa){
		dfs(i,rt);
		if(st-tmp>gap){
			bl++;
			while(st!=tmp) b[s[st--]]=bl;
		}
	}
}
int lca(int x,int y){
	int xx,yy;
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	Rof(i,C,0){
		xx=f[x][i];
		if(dep[xx]>=dep[y]) x=xx;
	}
	if(x==y) return x;
	Rof(i,C,0){
		xx=f[x][i];
		yy=f[y][i];
		if(xx!=yy) x=xx,y=yy;
	}
	return f[x][0];
}
void del(int x){ now-=w[cnt[x]--]*v[x]; }
void add(int x){ now+=w[++cnt[x]]*v[x]; }
void work(int x){
	if(vis[x]) del(a[x]); else add(a[x]);
	vis[x]^=1;
}
void change(int x,int val){
	if(vis[x]) del(a[x]),add(val);
	a[x]=val;
}
void mov(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	while(dep[x]>dep[y])
		work(x),x=f[x][0];
	while(x!=y){
		work(x),x=f[x][0],
		work(y),y=f[y][0];
	}
}
signed main(){
	int opt,x,y,tmp;
	n=read(),m=read(),tmp=read();
	For(i,1,m) v[i]=read();
	For(i,1,n) w[i]=read();
	For(i,1,n-1){
		x=read(),y=read();
		e[x].pb(y);
		e[y].pb(x);
	}
	For(i,1,n) s[i]=a[i]=read();
	while(tmp--){
		opt=read(),x=read(),y=read();
		if(!opt) c[++tim]=(Chan){x,s[x],y},s[x]=y;
		else qt++,q[qt]=(Que){x,y,tim,qt};
	}
	dfs(1,0);
	if(st){ bl++; while(st) b[s[st--]]=bl; }
	sort(q+1,q+1+qt);
	int T=0,U=1,V=1;
	work(1);
	For(i,1,qt){
		while(T<q[i].t) T++,change(c[T].x,c[T].nxt);
		while(T>q[i].t) change(c[T].x,c[T].lst),T--;
		work(lca(U,V));
		mov(U,q[i].u);
		mov(V,q[i].v);
		work(lca(U=q[i].u,V=q[i].v));
		ans[q[i].id]=now;
	}
	For(i,1,qt) printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;}

树上撒点

P3603 雪辉

posted @ 2022-05-14 12:08 ShaoJia 阅读(32) 评论(0) 编辑收藏举报

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ShaoJia qwq

在纷繁杂乱的世界里，独自寻找属于自己的光荣与梦想。

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	//Said no more counting dollars. We'll be counting stars.
	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	#define pb emplace_back
	#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
	#define For(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
	#define Rof(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
	#define int long long
	#define N 100010
	#define V 16384//值域
	vector<int> bu;//0~V-1 popcnt=k 的数
	int n,m,k,a[N],b[N],gap;
	struct Que{
	int l,r,id,ans;//ans:比莫队中上次询问答案的增量
	friend bool operator<(Que x,Que y){return b[x.l]==b[y.l]?((b[x.l]&1)?x.r<y.r:x.r>y.r):x.l<y.l;}
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	int p[N];//ct((i+1)->[1,i]) ct表示贡献
	int t[V];//桶
	int ans[N];//最终答案
	vector<tuple<int,int,int,int> > v[N];
	//第一次莫队留下的询问v[i].<l,r,id,val>：[l,r] 区间中所有 x，sum ct(x->[1,i])，乘系数 val 贡献给询问 i
	signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
	For(i,0,V-1) if(__builtin_popcount(i)==k) bu.pb(i);
	For(i,1,n) scanf("%lld",a+i);
	For(i,1,m) scanf("%lld%lld",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
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	* Author: ShaoJia
	* Create Time: 2022-08-24 19:46:10
	* Last Modified time: 2022-08-25 14:49:42
	* Motto: We'll be counting stars.
	*/
	#include<bits/stdc++.h>
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	#define ckmn(a,b) a=min(a,b)
	#define debug(...) cerr<<"#"<<__LINE__<<": "<<__VA_ARGS__<<endl
	#define int long long
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	#define gc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
	inline int read() {
	int x=0,f=1;
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	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=gc();}
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	//------------------------------------------
	const int N=100005,gap=2000,C=16;
	int b[N];
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ShaoJia qwq

在纷繁杂乱的世界里，独自寻找属于自己的光荣与梦想。

重修 分块和莫队

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