三角形的费马点（即托里拆利点）

费马问题

托里拆利点

Q:给定三角形 $\triangle ABC$，用尺规作图作出三角形内一点 $D$ 使得 $AD+BD+CD$ 取到最小值。

A:

若三角形三个角均小于 $120^{\circ}$：

则将 $\triangle ACD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $\triangle AC'D'$。

再连结 $DD'$ 和 $BC'$。

发现 $AD+BD+CD=DD'+BD+C'D'\geqslant BC'$（证明留给读者）

所以当 $B,D,D',C'$ 四点共线时 $AD+BD+CD$ 取最小值。

显然

$$\begin{cases}\angle ADC=\angle AD'C'=120^{\circ} \\ \angle ADB=120^{\circ} \\ \angle BDC=120^{\circ}\end{cases}$$

尺规作图轻松解决（分别以三边中一边，向三角形外作正三角形，如图相连，交点即为 $D$）。

若三角形有个角不小于 $120^{\circ}$：

则 $D$ 与那个不小于 $120^{\circ}$ 的角的顶点重合（证明略）。