概率期望题 切木棍

接下来所说的“随机切”均指切的位置呈均匀分布。

一根长为 $1$ 的木棍，随机切 $2$ 刀 ，$3$ 段木棍能组成三角形的概率是多少？

错误解法：

以木棍中点分成 $A,B$ 两段。

若两刀均切在同一段内，则三段中最长边的长度 $\geqslant\dfrac{1}{2}$，无法组成三角形。

所以两刀分别在 $A,B$ 两段的概率为 $\dfrac{1}{2}$，即答案。

正确解法：

将木棍上每一个点用 $[0,1]$ 内的实数表示。

设两刀分别切在 $x,y\in [0,1]$ 的位置。

列不等式组：

$$\begin{cases}0\leqslant x\leqslant1\\0\leqslant y\leqslant1\\ \max(|x-y|,\min(x,y),1-max(x,y))<\dfrac{1}{2}\end{cases}$$

绘制：

占总面积的 $\dfrac{1}{4}$，即为答案。

一根长为 $1$ 的木棍，随机切 $2$ 刀 ，中间那段木棍的期望长度是多少？

$$\begin{aligned} Ans & =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|x-y| \, dx \, dy \\ & = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{y}|x-y| \, dx+\int_{y}^{1}|x-y| \, dx\right) \, dy \\ & = \int_{0}^{1}\left(y^2-\int_{0}^{y}x \, dx+\int_{y}^{1}x \, dx-y(1-y)\right) \, dy \\ & = \int_{0}^{1}\left(2y^2-y+\int_{y}^{1}x \, dx-\int_{0}^{y}x \, dx\right) \, dy \\ & = \int_{0}^{1}\left(2y^2-y+\dfrac{(y+1)(1-y)}{2}-\dfrac{y^2}{2}\right) \, dy \\ & = \int_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{2}+y^2-y\right) \, dy \\ & = \dfrac{1}{2}+\int_{0}^{1}y^2 \, dy-\int_{0}^{1}y \, dy \\ & = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2} \\ & = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$$

一根长为 $1$ 的木棍，切 $2$ 刀 ，第 $1$ 刀随机切，第 $2$ 刀从第 $1$ 刀切出来的左半部分木棍里随机切，中间那段木棍的期望长度是多少？

$$\begin{aligned} Ans & =\int_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{x}\int_{0}^{x}(x-y) \, dy \right)\, dx \\ & =\int_{0}^{1}\dfrac{x}{2} \, dx \\ & =\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}x \, dx \\ & =\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$

Summary

$$\Large{积分YYDS}$$