BIBD&SBIBD的矩阵题

证明不存在 $01$ 方阵 $A$ 使得：

$A^TA=\begin{pmatrix}7&2&\dots &2\\2&7&\dots&2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 2&2&\dots&7\end{pmatrix}_{22\times22}$

证明：

若 $\exists A$ 满足上述条件。

$\because A^TA=\begin{pmatrix}7&2&\dots &2\\2&7&\dots&2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 2&2&\dots&7\end{pmatrix}_{22\times22}$

$\begin{aligned} \therefore |A^TA| & = \begin{vmatrix}7&2&\dots &2\\2&7&\dots&2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 2&2&\dots&7\end{vmatrix}_{22\times22} \\ & = \begin{vmatrix}7&2&2&\dots &2\\-5&5&0&\dots&0\\-5&0&5&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -5&0&0&\dots&5\end{vmatrix}_{22\times22} \\ & = \begin{vmatrix}7+21\times2&2&2&\dots &2\\0&5&0&\dots&0\\0&0&5&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&5\end{vmatrix}_{22\times22} \\ & = 5^{22-1}( 7+21\times 2 ) \\ &= 7^2\times 5^{21}\end{aligned}$

$\because |A|^2=|A^T||A|=|A^TA|$

$\therefore |A|=\pm\sqrt{|A^TA|}=\pm7\times5^{10}\sqrt{5}$

$\because A$ 为 $01$ 矩阵。

$\therefore |A|\in \mathbb{Z}$

$\because \pm7\times5^{10}\sqrt{5}\notin \mathbb{Z}$

$\therefore$ 假设不成立，即 $\nexists A$ 满足上述条件，原命题得证。

可以推出一个结论：

不存在 $01$ 方阵 $A$ 使得：

$A^TA=\begin{pmatrix}r&\lambda&\dots &\lambda\\\lambda&r&\dots&\lambda\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda&\lambda&\dots&r\end{pmatrix}_{v\times v}$

$(r,\lambda\in\mathbb{Z},v\in\mathbb{N^+},2|v,\sqrt{r-\lambda}\notin \mathbb{N})$