乘法逆元专题

正常求逆元

由费马小定理

$$a^p\equiv a\pmod{p} \quad p\in prime$$

得：

$$a^{p-2}\equiv \dfrac{1}{a}\pmod{p}$$

之后称 $a$ 关于模 $p$ 的乘法逆元为 $inv(a)$

求 $inv(a)$ 的时间复杂度为 $O(\log p)$ （快速幂）

线性求 $inv(i) \ (1\leqslant i\leqslant n)$

即要 $O(1)$ 在已知 $inv(j) \ (1\leqslant j\leqslant i-1)$ 的前提下求 $inv(i)$

推导：

将 $p$ 拆开

$$p=\left\lfloor\dfrac{p}{i}\right\rfloor\times i+p\%i$$

得

$$\left\lfloor\dfrac{p}{i}\right\rfloor\times i+p\%i\equiv 0\pmod{p}$$

两边同乘 $inv(i)\times inv(p\%i)$，得

$$\left\lfloor\dfrac{p}{i}\right\rfloor\times inv(p\%i)+inv(i)\equiv 0\pmod{p}$$

即

$$inv(i)\equiv -\left\lfloor\dfrac{p}{i}\right\rfloor\times inv(p\%i)\pmod{p}$$

其中 $inv(p\%i)$ 我们已知，就能线性求 $inv(i) \ (1\leqslant i\leqslant n)$ 啦~

线性求 $inv(i!) \ (1\leqslant i\leqslant n)$

先求出 $inv(n!)$，之后

$$inv(i!)=inv((i+1)!)\times (i+1) \ (1\leqslant i\leqslant n-1)$$

就结束了~

当然这个也可以配合 $i! \ (0\leqslant i\leqslant n-1)$ 导出 $inv(i) \ (1\leqslant i\leqslant n)$ 的取值，也就是

$$inv(i)=inv(i!)\times (i-1)! \ (1\leqslant i\leqslant n)$$