几何 塞瓦定理及梅涅劳斯定理

2023年6月8日

梅涅劳斯定理的充分性可以用更直观且对称且无分讨的方式证明。

将那三点共线所在直线设为 \(l\)，将平面上每个点设一个权值等于其到直线的距离。

则三个分式相乘等于 \(1\) 的意义是三角形某个顶点的权值变换三次回到自己时缩放比例为 \(1\)。

远古

塞瓦定理

如图 \(\frac{AB}{BC}\cdot \frac{CD}{DE}\cdot \frac{EF}{FA}=1\) 当且仅当 \(AD,CF,EB\) 三线共点

证明略(面积法)

梅涅劳斯定理

(开局一个三角形,一条直线,装备全靠捡)

梅涅劳斯定理因直线与三角形的位置关系不同而变化

如图一 \(\frac{AE}{EB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CF}{FA}=1\) 当且仅当 \(D,E,F\) 三点共线

如图二 \(\frac{AD}{DB}\cdot \frac{BF}{FC}\cdot \frac{CE}{EA}=1\) 当且仅当 \(D,E,F\) 三点共线

证明略(与塞瓦类似)

这6条边在式中的顺序难记,怎么办?

从三角形的一个顶点出发,按顺序遍历 \([\) 顶点为三角形的顶点,交点为当前遍历到的三角形的边(的延长线)与直线的交点 \(]\) :

顶点 \(\rightarrow\) 交点 \(\rightarrow\) 顶点 \(\rightarrow\) 交点 \(\rightarrow\) 顶点 \(\rightarrow\) 交点 \(\rightarrow\) 最初的顶点

经过的边分别记作 \(a,b,c,d,e,f\)

则公式为 \(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\cdot \frac{e}{f}=1\)

举个例子:

梅涅劳斯定理例题(蒙日定理):

平面上有三个圆,每一对圆的外公切线交于一点,则三个交点共线

首先提取出两个圆

易知

\(\because \triangle ACO\sim \triangle BDO\)

\(\therefore \frac{AO}{BO}=\frac{AC}{BD}\) (即半径之比)

转回原图:

\(\because \frac{AF}{CF}=\frac{a}{c},\frac{BD}{AD}=\frac{b}{a},\frac{CE}{BE}=\frac{c}{b}\)

\(\therefore \frac{AF}{CF}\cdot \frac{BD}{AD}\cdot \frac{CE}{BE}=1\)

\(\therefore D,E,F\)共线(梅涅劳斯定理)

summary

塞瓦定理多用于证三线共点
梅涅劳斯定理多用于证三点共线