二元二次函数求最值

题目:

a22ab+2b22a4b+27 的最小值。

解法一:

用十字相乘判断原式不为完全平方式(加常数)的形式。

用待定系数法设

a22ab+2b22a4b+27=(x1a+x2b)2+(x3a+x4)2+(x5b+x6)2+x7

且存在 a,b 使三个平方和为 0

解得:

a22ab+2b22a4b+27=(63a62b)2+(33a3)2+(22b22)2+17

{a=4b=3 时取到最小为 17

解法二:

f(a,b)=a22ab+2b22a4b+27=a2+(2b2)a+(2b24b+27)

此函数 b 值固定时 a=b+1 时取最小值(二次函数的最小值)

将其代入,得:

f(b+1,b)=b26b+26

再次套用二次函数最值公式,得最小值为 f(4,3)=17

原理为二元函数在空间中的图像(曲面)先纵剖,对每一个纵剖面求最小值,再在这些最小值(构成空间中的曲线)里求最小即可。

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