二元二次函数求最值

题目：

求 \(a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27\) 的最小值。

解法一：

用十字相乘判断原式不为完全平方式（加常数）的形式。

用待定系数法设

\[a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27=(x_1a+x_2b)^2+(x_3a+x_4)^2+(x_5b+x_6)^2+x_7 \]

且存在 \(a,b\) 使三个平方和为 \(0\)。

解得：

\[a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27=(\dfrac{\sqrt{6}}{3}a-\dfrac{\sqrt{6}}{2}b)^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a-\sqrt{3})^2+(\dfrac{\sqrt{2}}{2}b-2\sqrt{2})^2+17 \]

即 \(\begin{cases}a=4\\b=3\end{cases}\) 时取到最小为 \(17\)。

解法二：

\[f(a,b)=a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27=a^2+(-2b-2)a+(2b^2-4b+27) \]

此函数 \(b\) 值固定时 \(a=b+1\) 时取最小值(二次函数的最小值)

将其代入，得：

\[f(b+1,b)=b^2-6b+26 \]

再次套用二次函数最值公式，得最小值为 \(f(4,3)=17\)。

原理为二元函数在空间中的图像（曲面）先纵剖，对每一个纵剖面求最小值，再在这些最小值（构成空间中的曲线）里求最小即可。