题目:
求 a2−2ab+2b2−2a−4b+27 的最小值。
解法一:
用十字相乘判断原式不为完全平方式(加常数)的形式。
用待定系数法设
a2−2ab+2b2−2a−4b+27=(x1a+x2b)2+(x3a+x4)2+(x5b+x6)2+x7
且存在 a,b 使三个平方和为 0。
解得:
a2−2ab+2b2−2a−4b+27=(√63a−√62b)2+(√33a−√3)2+(√22b−2√2)2+17
即 {a=4b=3 时取到最小为 17。
解法二:
f(a,b)=a2−2ab+2b2−2a−4b+27=a2+(−2b−2)a+(2b2−4b+27)
此函数 b 值固定时 a=b+1 时取最小值(二次函数的最小值)
将其代入,得:
f(b+1,b)=b2−6b+26
再次套用二次函数最值公式,得最小值为 f(4,3)=17。
原理为二元函数在空间中的图像(曲面)先纵剖,对每一个纵剖面求最小值,再在这些最小值(构成空间中的曲线)里求最小即可。
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