代组

代数结构

\(15\) 代数系统

\(15.1\) 二元运算

定义

设\(A\)为集合，则函数\(f:A\times A\to A\)称为\(A\)上的一个二元代数运算，简称二元运算。\(\forall x,y\in A,f(\langle x,y\rangle)=c\)，则称\(x,y\)为运算数，\(c\)为\(x,y\)的运算结果。

设\(A\)为集合，\(n\in N_+,A^n=\underbrace{A\times A\times \cdots A}_{n个}\)，则称函数\(f:A^n\to A\)为\(A\)上的一个\(n\)元代数运算，简称\(n\)元运算。

\(f\)是\(A\)上的运算也可以称\(A\)在\(f\)上是封闭的。

可以使用算符\(\circ,\cdot,*,\vartriangle,\square\)表示运算，如可令\(f(\langle x_1,x_2,\cdots,x_n\rangle)=\circ(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)，二元可记为\(x_1\circ x_2\)，一元可记为\(\circ x_1\)

性质

设\(\circ,*\)是\(A\)上的一个二元运算。

若\(\forall x,y\in A,x\circ y=y\circ x\)，则称\(\circ\)在\(A\)上可交换，满足交换律。

若\(\forall x,y,z\in A,x\circ(y\circ z)=(x\circ y)\circ z\)，则称\(\circ\)在\(A\)上可结合，满足结合律。

若\(\forall x\in A,x\circ x=x\)，则称\(\circ\)在\(A\)上是幂等的，满足幂等律。若\(\exists x\in A,x\circ x=x\)，则称\(x\)为关于运算\(\circ\)的幂等元。

若\(\forall x,y,z\in A,x\circ(y*z)=(x\circ y)*(x\circ z)\land (y* z)\circ x=(y\circ x)*(z\circ x)\)，则称$\circ \(对\)*$ 是可分配的，或\(\circ\)对\(*\)满足分配律。

若\(\circ\)和\(*\)满足交换律且\(\forall x,y\in A,x*(x\circ y)=x\land x\circ (x*y)=x\)，则称$\circ \(和\)*\(运算是**可吸收**的，或\)\circ $ 和\(*\)满足吸收律。

若\(\exists e_l/e_r\in A,\forall x\in A,e_l\circ x=x/x\circ e_r=x\)，则称\(e_l/e_r\) 为$\circ \(的**左/右单位元**，若\)e\(既是左单位元又是右单位元，则称\)e$是单位元。

若\(\exists \theta_l/\theta_r\in A,\forall x\in A,\theta_l\circ x=\theta_l/x\circ \theta_r=\theta_r\)，则称\(\theta_l/\theta_r\)为\(\circ\)的左/右零元，若\(\theta\)既是左零元又是右零元，那么称\(\theta\)是零元。

若\(e\)是\(\circ\)的单位元，\(x\in A,\exists y\in A,y\circ x=e/x\circ y=e\)，则称\(y\)是\(x\)的左/右逆元，若\(y\)既是左逆元又是右逆元，那么\(y\)是\(x\)的逆元。

若\(\forall x,y,z\in A,x\circ y=x\circ z\Rightarrow y=z\land y\circ x=z\circ x\Rightarrow y=z\)，则称$\circ \(在\)A$中适合消去律。

\(15.2\) 代数系统、子代数和积代数

一个代数系统是一个三元组\(V=\langle A,\Omega,K\rangle\)，其中\(A\) 是一个非空的对象集合，称为\(V\)的载体，\(\Omega\)是一个非空的运算的集合，\(\Omega=\cup_{i=1}^\infty \Omega_i,\Omega_i =\{o|o是A上的i元运算\}\)，\(K\subseteq A\)是代数常数的集合。

\(\forall k\in K\) ,可以将\(k\)看作\(A\)上的一个\(0\)元运算\(k:\to A\)，故可以将\(V\)记为\(\lang V,\Omega\rang.\Omega=\cup_{i=0}^\infty\Omega_i,\Omega_0=K\)。

当\(\Omega\)中含有\(r\)个代数运算时，将\(V\)记作\(\lang A,o_1,o_2,\cdots,o_r\rang,\Omega=\{o_1,o_2,\cdots,o_r\}\)。通常从高元到低元排列。

在不产生误解的情况下，可以不写出代数系统中的所有成分，如\(\lang \mathbb{N},+,0\rang\)可简记为\(\lang \mathbb{N},+\rang\)或\(\mathbb{N}\)。

设\(V_1=\lang A,o_1,o_2,\cdots,o_r\rang,V_2=\lang B,\bar{o}_1,\bar{o}_2,\cdots,\bar{o}_r\rang\)是具有\(r\)个运算的代数系统，\(r\ge1\)，若对于\(\forall i=1,2,\cdots r,o_i\)和\(\bar{o}_i\)运算具有相同的元数，则称\(V_1,V_2\)是同类型的代数系统。

设\(V=\lang A,o_1,o_2,\cdots,o_r\rang\)是代数系统，\(B\subseteq A\)，若\(o_1,o_2,\cdots,o_r\)在\(B\)上封闭，设\(V'=\lang B,o_1,o_2,\cdots,o_r\rang\)，则称\(V'\)是\(V\)的子代数系统，简称子代数。若\(B\subset A\)，那么称\(V'\)是\(V\)的真子代数。

设\(V=\lang A,o_1,o_2,\cdots,o_r\rang\)，其中的零元运算集合\(K\subseteq A\)，如果\(o_1,o_2,\cdots,o_r\)在\(V\)上封闭，则\(V'=\lang K,o_1,o_2,\cdots,o_r\rang\)是\(V\)的平凡子代数。

设\(V_1=\lang A,o_{11},o_{12},\cdots,o_{1r}\rang,V_2=\lang B,o_{21},o_{22},\cdots,o_{2r}\rang\)是同类型的代数系统，\(\forall i=1,2,\cdots,r,o_{1i}o_{2i}\)是\(k_i\)元运算，\(V_1\)和\(V_2\)的积代数记作\(V=V_1\times V_2=\lang A\times B,o_1,o_2,\cdots,o_r\rang\)，其中\(o_i(i=1,2,\cdots,r)\)为\(k_i\)元运算， \(\forall\lang x_1,y_1\rang,\lang x_2,y_2\rang,\cdots,\lang x_{k_i},y_{k_i}\rang\in A\times B\)，\(o_i( \lang x_1,y_1\rang,\lang x_2,y_2\rang,\cdots,\lang x_k,y_k\rang)=\lang o_{1i}( x_1,x_2,\cdots,x_k),o_{2i}( y_1,y_2,\cdots,y_k)\rang\)。

若\(V\)是\(V_1\)和\(V_2\)的积代数，则称\(V_1\)和\(V_2\)是\(V\)的因子代数。

积代数保持了原来两个因子代数的交换结合分配等各种性质。

\(15.3\) 代数系统的同态和同构

设\(V_1=\lang A,o_1,o_2,\cdots,o_r\rang,V_2=\lang B,\bar{o}_1,\bar o_2,\cdots,\bar o_r\rang\)是同类型的代数系统，\(\forall i=1,2,\cdots,r,o_i\)和\(\bar o_i\)是\(k_i\)元运算。设有函数\(\varphi:A\to B\)，如果对于所有的运算\(o_i,\bar o_i\)都有

\[\varphi(o_i(x_1,x_2,\cdots,x_{k_i})=\bar o_i(\varphi(x_1),\varphi(x_2),\cdots,\varphi(x_{k_i})),\forall x_1,x_2,\cdots,x_{k_i}\in A \]

则称\(\varphi\)是代数系统\(V_1\)到\(V_2\)的同态映射，简称同态。

若\(\varphi\)为满射，则称\(\varphi\)是满同态，记为\(V_1 \overset{\varphi}{\sim}V_2\)。

若\(\varphi\)为单射，则称\(\varphi\)是单同态。

若\(\varphi\)为双射，则称\(\varphi\)是同构，记为\(V_1\overset{\varphi}{\cong} V_2\)。这时也称\(V_1\)同构于\(V_2\)。

若\(V_1=V_2\)，则称\(\varphi\)是自同态，若\(\varphi\)又是双射，则称为自同构。

设\(V_1,V_2\)是同类型的代数系统，\(\varphi:A\to B\)是\(V_1\)到\(V_2\)的同态，则\(\varphi(A)\)关于\(V_2\)的运算构成代数系统，且是\(V_2\)的子代数，称为\(V_1\)在\(\varphi\)的同态像。

满同态保持了原来代数系统的交换结合分配等各种性质。

\(15.4\) 同余关系和商代数

设代数系统\(V=\lang A,o_1,o_2,\cdots,o_r\rang\)，其中\(o_i\)是\(k_i\)元运算，\(\sim\)是\(A\)上的等价关系。任取\(A\)上的\(2k_i\)个元素\(a_1,a_2,\cdots,a_{k_i},b_1,b_2,\cdots,b_{k_i}\)满足\(\forall j=1,2,\cdots,k_i,a_j\sim b_j\)，有\(o_i(a_1,a_2,\cdots,a_{k_i})\sim o_i(b_1,b_2,\cdots,b_{k_i})\)，则称\(\sim\)对\(o_i\)具有置换性质。如果\(\sim\)对\(V\)中所有运算都有置换性质，则称其为\(V\)上的同余关系，称\(A\)中关于\(\sim\)的等价类为\(V\)上同余类。

\(V\)关于\(\sim\)的商代数记作\(V/\sim=\lang A/\sim,\bar o_1,\bar o_2,\cdots,\bar o_r\rang\)。$ \forall i=1,2,\cdots,r,\forall [a_1],[a_2],\cdots,[a_{k_i}]\in A/\sim,\bar o_i([a_1],[a_2],\cdots,[a_{k_i}])=[o_i(a_1,a_2,\cdots,a_{k_i})]$。

商代数保持了原来代数系统的交换结合分配等各种性质。

若\(\varphi\)是\(V_1\)到\(V_2\)的同态，\(\sim\)是由\(\varphi\)导出的等价关系，则\(\sim\)是\(V_1\)上的同余关系。

若\(\sim\)为同余关系，那么自然映射\(g:A\to A/\sim,g(a)=[a]\)是从\(V\)到\(V/\sim\)的同态映射。

（同态基本定理）设\(V_1=\lang A,o_1,o_2,\cdots,o_r\rang,V_2=\lang B,o'_1,o'_2,\cdots,o'_r\rang\)是同类型的代数系统，\(\varphi:A\to B\)是\(V_1\)到\(V_2\)的同态，关系\(\sim\)是\(\varphi\)导出的\(V_1\)上的同余关系，则\(V_1\)关于同余关系\(\sim\)的商代数同构于\(V_1\)在\(\varphi\)下的同态像，即\(V_1/\sim\cong \lang \varphi(A),o'_1,o'_2,\cdots,o'_r\rang\)

\(16\)半群与幺半群

\(16.1\)半群与幺半群

设\(\circ\)是\(S\)上的二元运算，如果\(\circ\)在\(S\)上是可结合的，那么称代数系统\(V=\lang S,\circ\rang\)是半群。

若\(V=\lang S,\circ\rang\)是半群，存在\(e\in S\)为\(V\)中关于\(\circ\)运算的单位元，那么称\(V'=\lang S,\circ,e\rang\)为幺半群。

在半群中，可以定义\(x\in S\)的\(n\)次幂为\(x^1=x,x^{n+1}=x^n\circ x\)。

\(\forall x\in A,\forall n,m\in \mathbb{N}^+,x^n\circ x^m=x^{n+m},(x^n)^m=x^{nm}\)

幺半群中，还可以定义\(x^0=e\)。

半群\(S\)的子代数叫做\(S\)的子半群，幺半群\(S\)的子代数叫做\(S\)的子幺半群。

任意多个子半群的交仍然是半群，任意多个子幺半群的交仍然是幺半群。

设 \(B\subseteq S,B\not=\emptyset\)，则\(S\)所有包含\(B\)的子半群的交称为由\(B\)生成的子半群，记作\(\lang B\rang\)。

令\(\forall n\in \mathbb{Z}^+,B^n=\{b_1\circ b_2\circ \cdots\circ b_n|b_i\in B,i=1,2,\cdots,n\}\)，则有\(\lang B\rang=\cup_{n\in\mathbb{Z}^+}B^n\)

半群和幺半群的积代数称为积半群和积幺半群，商代数称为商半群和商幺半群。有关代数系统的一般形式都适用。

设半群\(V=\lang S,*\rang,V'=\lang S^S,\circ\rang,\circ\)为函数的复合运算，则\(V'\)也为半群，且存在\(V\)到\(V'\)的同态。

设\(V=\lang S,*,e\rang\)为幺半群，则存在\(T\subseteq S^S,\lang T,\circ,I_e\rang\cong \lang S,*,e\rang\)。

\(16.2\) 有穷自动机

一个有穷半自动机是一个三元组\(M=\lang Q,\Sigma,\delta\rang,Q\)为有穷状态集，\(\Sigma\)为有穷输入字符表，\(\delta:Q\times \Sigma\to Q\)为状态转移函数。

一个有穷自动机是一个五元组\(M=\lang Q,\Sigma,\Gamma,\delta,\lambda\rang\)，其中\(\Gamma\)为有穷输出字符表，\(\lambda:Q\times\Sigma\to \Gamma\)为输出函数。

将\(\delta(\lang q,a\rang)\)记为\(\delta(q,a)\)，将\(\lambda(\lang q,a\rang)\)记为\(\lambda(q,a)\)。

\(17\) 群

\(17.1\) 定义性质

在幺半群\(\lang G,\circ,e\rang\)的基础上，如果\(\forall x\in G,\exists x^{-1}\in G\)，则称\(\lang G,\circ\rang\)为群。

如果一个半群有左单位元和左逆元，或者有右单位元和右逆元，则这个半群就是一个群。

若群中只有一个元素，即\(G=\{e\}\)，则称其为平凡群，若群中的运算满足交换律，则称其为交换群或Abel群。

群\(G\)的基数称为群的阶，若群的阶为正整数\(n\)，则称其为\(n\)阶群，记作\(|G|=n\)，否则称其为无限群。

若\(G\)是群，\(a\in G,a\)的\(n\)次幂$$a^n=\left{\begin{array}{lll} e&,&n=0\a^{{n-1}a&,&n>0\(a})^m&,&n=-m,m>0\end{array}\right.$$

设\(G\)为群，\(\forall a\in G\)，使得\(a^k=e\)成立的最小的\(k\)称为\(a\)的阶，记为\(|a|\)。

除半群中的性质外，若\(G\)为群，\(\forall a,b\in G,(a^{-1})^{-1}=a,(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)。

如果\(G\)是Abel群，那么还有\((ab)^n=a^nb^n\)。

\(G\)为群，\(\forall a,b\in G\)，方程\(ax=b\)和\(ya=b\)有且只有一个解。

如果有解，则\(G\)为群。

群满足消去律。如果一个含有一个二元运算的代数系统满足结合律和消去律，那么这个代数系统是一个群。

设\(G=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)为群，则\(G\)的运算表的每行每列都是\(G\)中元素的一个置换。

设\(G\)为群，\(\forall a\in G,|a|=r\)，则有

\((1) a^k=e\Leftrightarrow k|r\)

\((2)|a^{-1}|=|a|\)

\((3)|G|=n\Rightarrow r\le n\)

\(17.2\) 子群

\(G\)为群，\(H\)为\(G\)的非空子集，且对\(G\)中的运算构成一个群，则称\(H\)为\(G\)的子群，记作\(H\le G\)。如果\(H\)是\(G\)的真子集，则称为真子群，记作\(H<G\)。

如果\(|H|=1\)或\(H=G\)，则称\(H\)为\(G\)的平凡子群。

\(H\)为\(G\)的非空子集，则当且仅当\(G\)中的运算在\(H\)中封闭，且存在逆元时，\(H\le G\)。

\(H\)为\(G\)的非空子集，则当且仅当\(\forall a,b,\in H,ab^{-1}\in H，H<G\)。

\(H\)为\(G\)的有穷非空子集，则当且仅当\(G\)中的运算在\(H\)中封闭时，\(H\le G\)。

设\(G\)为群，\(a\in G\)，则\(\{a^k|k\in\mathbb{Z}\}\)为\(G\)的子群，称为由\(a\)生成的子群，记作\(\lang a\rang\)。

\(C=\{a|a\in G\land \forall x\in G(ax=xa)\}\)为\(G\)的子群，称为\(G\)的中心。Abel群\(G\)的中心\(C=G\)，如果\(G\)的中心为\(\{e\}\)，则称\(G\)是无中心的。

\(H\)是\(G\)的子群，\(x\in G\)，则\(xHx^{-1}=\{xhx^{-1}|h\in H\}\)为\(G\)的子群，称为\(H\)的共轭子群。

\(G\)为群，\(B\subseteq G\)，则设\(\mathcal{S}=\{H|H\le G\land B\subseteq H\}\)，设\(K=\cap \mathcal{S}\)，则\(K\)是\(G\)的子群，称为由\(B\)生成的子群，记作\(\lang B\rang\)。

\(17.3\) 循环群

\(G\)为群，若存在\(a\in G\)使得\(G=\{a^k|k\in \mathbb{Z}\}\)，则称\(G\)为循环群，记作\(\lang a\rang\)，称\(a\)为\(G\)的生成元。

若\(|G|=n\)，即\(G\)为\(n\)阶循环群，则\(a^k\)为\(G\)的生成元当且仅当\((n,k)=1\)

若\(G\)为无限阶循环群，则\(G\)的生成元为\(a,a^{-1}\)

\(G=\lang a\rang\)为循环群，则有

\((1)G\)的子群为循环群

\((2)G\)为无限阶的，则\(G\)的子群除一个平凡子群外均为无限阶的

\((3)G\)为\(n\)阶循环群，则\(G\)的子群的阶为\(n\)的因子，且对于每个因子都有唯一一个子群与之对应。

\(17.4\) 变换群和置换群

设\(A\)是一个非空集合，\(f:A\to A\)称为\(A\)上的一个变换，若\(f\)为双射，则称\(f\)为\(A\)上的一个一一变换。

两个变换\(f,g\)的复合称为\(f\)和\(g\)的乘积，记为\(fg\)。

设\(E(A)\)为\(A\)上的一一变换的集合，则\(E(A)\)关于变换的乘法构成一个群，称为一一变换群。这个群的子群称为变换群。

当\(A\)为有穷集时，\(A\)上的一一变换称为\(A\)上的置换，当\(|A|=n\)时称为\(n\)元置换。为了叙述上的方便，将\(A\)记作\({1,2,\cdots,n}\)，将\(A\)上的\(n\)元置换\(\sigma\)记为\(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}\)。易知，\(A\)上的\(n\)元置换共有\(n!\)个，这些置换构成的关于复合的乘法群\(S_n\)称为\(n\)元对称群，子群称为\(n\)元置换群。

设\(\sigma \in S_n,i_1,i_2,\cdots,i_k\in\{1,2,\cdots,n\},\sigma(i_1)=i_2,\sigma(i_2)=i_3,\cdots,\sigma(i_k)=i_1,\forall i\in \{1,2,\cdots,n\}/\{i_1,i_2,\cdots,i_k\},\sigma(i)=i\)，则称\(\sigma\)为\(k\)阶轮换，记为\(k=(i_1,i_2,\cdots,i_k)\)。若\(k=1\)，则\(\sigma\)为恒等置换，若\(k=2\)，则称其为对换。

设\(\sigma=(i_1,i_2,\cdots,i_k),\tau=(j_1,j_2,\cdots,j_s)\)，若\(\{i_1,i_2,\cdots,i_k\}\cap\{j_1,j_2,\cdots,j_s\}=\emptyset\)，则称\(\sigma\)和\(\tau\)不相交。

若\(\sigma\)和\(\tau\)不相交，则\(\sigma\tau=\tau\sigma\)。任意的\(n\)阶置换都能唯一表示称若干个轮换之积。

设\(\sigma\in S_n\)表示成若干个不交的轮换之积，对于\(k=1,2,\cdots,n\)。令\(c_i(\sigma)\)为其中\(i\)阶轮换的个数，则\(1^{c_1(\sigma)}2^{c_2(\sigma)}\cdots n^{c_n(\sigma)}\)称为\(\sigma\)的轮换指数。

设\(\sigma=(i_1,i_2,\cdots,i_k)\)是\(A=\{1,2,\cdots,n\}\)上的\(k\)阶轮换，则有\(\sigma=(i_1,i_k)(i_1,i_{k-1})\cdots(i_1,i_2)\)，即轮换能够表示成若干个对换的积。又由于置换能够表示成若干个不相交的轮换之积，则有置换能够表示成若干个对换之积。表示成对换之积时并不唯一。

将一个置换\(\sigma,\sigma(j)=i_j\)表示成对换时，对换的个数的奇偶性与排列\(\pi=i_1,i_2,\cdots,i_n\)的逆序对数的奇偶性相同。

如果一个置换能够表示成奇数个对换的乘积，则称为奇置换，如果能表示成偶数个对换的乘积，则称为偶置换。

\(G\)是\(n\)元置换群，则如果有\(\sigma\in G,\sigma=(i_1,i_2,\cdots,i_k)\)，则\(|\sigma|=k\)。\(\tau\in G,\tau=\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_s\)，\(\sigma_i\)为\(k_i\)阶轮换，则有\(|\tau|=[k_1,k_2,\cdots,k_s]\)。

\(17.5\) 群的分解

陪集分解

设\(G\)为群，\(H\)为\(G\)的子群，\(a\in G\)，则令\(Ha=\{ha|h\in H\}\)称为\(H\)在\(G\)的一个右陪集。

\(He=H,\forall a\in G,a\in Ha,Ha\approx H\)

\(\forall a,b\in G,a\in Hb\Longleftrightarrow Ha=Hb\Longleftrightarrow ab^{-1}\in H\)

在\(G\)上定义二元关系\(R\)，\(\forall a,b\in G,aRb\Longleftrightarrow ab^{-1}\in H\)，则\(R\)为等价关系，\([a]_R=Ha\)。

\(\forall a,b\in G,(Ha\cap Hb=\emptyset\lor Ha=Hb)\land \cup_{a\in G}Ha=G\)

类似的，我们也可以定义左陪集。

设\(G\)为群，\(H\)为\(G\)的子群，\(a\in G\)，则令\(aH=\{ah|h\in H\}\)称为\(H\)在\(G\)的一个左陪集。

\(eH=H,\forall a\in G,a\in aH,aH\approx H\)

\(\forall a,b\in G,a\in bH\Longleftrightarrow aH=bH\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\)

在\(G\)上定义二元关系\(R\)，\(\forall a,b\in G,aRb\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\)，则\(R\)为等价关系，\([a]_R=aH\)。

\(\forall a,b\in G,(aH\cap bH=\emptyset\lor aH=bH)\land \cup_{a\in G}aH=G\)

\(H\)在\(G\)上的左陪集数和右陪集数相等。

Lagrange定理

定义\(H\)在\(G\)中的左陪集数或者右陪集数为\(H\)在\(G\)中的指数，记作\([G:H]\)。

Lagrange定理：设\(G\)为有限群，\(H\)为\(G\)的子群，则\(|G|=[G:H]|H|\)

由Lagrange定理不难得到，群\(G\)的所有子群的阶均为\(G\)的阶的因子，且质数阶群必为循环群。

共轭分解

设\(G\)为群，在\(G\)上定义二元关系\(R\)，\(\forall a,b\in G,aRb\Longleftrightarrow \exists x(x\in G\land a=xbx^{-1})\)，称\(R\)为\(G\)上的共轭关系，称\(b\)是\(a\)的共轭。

群\(G\)上的共轭关系为等价关系。对于\(a\in G,[a]_R\)称作\(a\)的共轭类，简记为\(\overline a\)。

设\(C\)为群\(G\)的中心，则\(\forall a\in G,a\in C\Longleftrightarrow \overline a=\{a\}\)

对于\(a\in G,N(a)=\{x|x\in G\land xa=ax\}\)称为\(a\)的正规化子。

\(\forall a\in G,N(a)\)为\(G\)的子群，\(|\overline a|=[G:N(a)]\)。

群的分类方程

\(G\)为有限群，\(C\)为\(G\)的中心，设\(G\)中至少有两个元素的共轭类有\(k\)个，\(a_1,a_2,\cdots,a_k\)分别为这\(k\)个共轭类的代表元素，则有

\[|G|=|C|+[G:N(a_1)]+[G:N(a_2)]+\cdots+[G:N(a_k)] \]

\(17.6\) 正规子群和商群

\(G\)为群，\(H\)为\(G\)的子群，若\(\forall a\in G,aH=Ha,\)则称\(H\)为群\(G\)的正规子群，记作\(H\trianglelefteq G\)

\(N\trianglelefteq G\Longleftrightarrow \forall g\in G,gNg^{-1}=N\Longleftrightarrow \forall g\in G,\forall n\in N,gng^{-1}\in N\)

\(G\)为群，\(H\)是\(G\)的正规子群，令\(G/H=\{Hg|g\in G\}\)为\(H\)的右陪集构成的集合，在\(G/H\)上定义运算\(\circ\)，\(Ha\circ Hb=Hab\)，则\(G/H\)关于\(\circ\)构成一个群，称为\(G\)的商群。

\(17.7\) 群的同态和同构

设\(G_1\)和\(G_2\)是群，\(\varphi:G_1\to G_2,\forall a,b\in G_1,\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)，则\(\varphi\)是从\(G_1\)到\(G_2\)的同态映射，简称同态。

与一般的代数系统类似，还可以定义群的满同态、单同态和同构。

设\(\varphi:G_1\to G_2\)是\(G_1\)到\(G_2\)的同态，令\(\ker\varphi=\{x|x\in G\land \varphi(x)=e_2\}为\)\(\varphi\)的核。

设\(\varphi\)是\(G_1\)到\(G_2\)的同态，则\(\varphi\)是单同态当且仅当\(\ker\varphi=\{e_1\}\)

循环群在满同态作用下仍为循环群。

若\(H\)为\(G_1\)的子群，则\(\varphi(H)\)为\(G_2\)的子群。

若\(H\)为\(G_1\)的正规子群，\(\varphi\)为满同态，则\(\varphi(H)\)为\(G_2\)的正规子群。

\(\ker \varphi\)是\(G_1\)的正规子群。\(\forall a,b\in G_1,\varphi(a)=\varphi(b)\Longleftrightarrow a\ker\varphi=b\ker\varphi\)

（群同态基本定理）\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的正规子群，则\(G\)的商群\(G/H\)是\(G\)的同态像。若\(G'\)是\(G\)的同态像，\(G\overset{\varphi}{\sim}G'\)，则\(G/\ker\varphi\cong G'\)

设\(G\)是一个群，\(G\)到\(G\)的同态称为\(G\)的自同态，\(G\)到\(G\)的同构称为\(G\)的自同构。\(G\)的所有自同态构成的集合记作\(\operatorname{End}G\)，所有自同构构成的集合记作\(\operatorname{Aut}G\)。

\(\operatorname{End}G\)关于映射的合成构成一个幺半群，\(\operatorname{Aut}G\)关于映射的合成构成一个群，称为自同构群。

\(x\in G,\varphi_x:G\to G,\varphi_x(a)=xax^{-1},\forall a\in G\)，则\(\varphi_x\)为\(G\)的一个自同构，称为内自同构。\(G\)的所有内自同构构成的集合记作\(\operatorname{Inn}G\)

\(\operatorname{Inn}G\trianglelefteq\operatorname{Aut}G\)

\(17.8\) 群的直积

群的积代数就是群的直积。设\(G\)是群，\(K,L\)是\(G\)的子群。\(\varphi:K\times L\to KL,\varphi(\lang k,l\rang)=kl,\forall k\in K,l\in L\)。若\(K\times L\overset{\varphi}{\cong} G\)，则称\(G\)是\(K\)和\(L\)的内直积，记作\(G=K\times L\)。

\(G\)为群，\(K,L\)为\(G\)的子群，则\(G=K\times L\)当且仅当\((K\trianglelefteq G,L\trianglelefteq G)\land K\cap L=\{e\}\land G=KL\)。

可以将上述直积扩展到\(n\)个群的情况：

设\(G\)是群，\(G_1,G_2,\cdots,G_n\)是\(G\)的子群，设\(\varphi:G_1\times G_2\times\cdots\times G_n\to G_1G_2\cdots G_n,\varphi(\lang a_1,a_2,\cdots,a_n\rang)=a_1a_2\cdots a_n\)。若\(G_1\times G_2\times\cdots\times G_n\overset{\varphi}{\cong}G\)，则称\(G\)是\(G_1,G_2,\cdots,G_n\)的内直积，记作\(G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n\)。

设\(G\)是群，\(G_1,G_2,\cdots,G_n\)是\(G\)的子群，则\(G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n\)当且仅当

\(G_i\trianglelefteq G,i=1,2,\cdots,n;G_i\cap G_1G_2\cdots G_{i-1}G_{i+1}\cdots G_n,i=1,2,\cdots,n;G=G_1G_2\cdots G_n\)

\(18\) 环与域

\(18.1\) 环的定义和性质

设\(\lang R,+,\cdotp\rang\)是具有两个二元运算的代数系统，如果\(\lang R, +\rang\)构成 Abel群，\(\lang R,\cdotp\rang\)构成半群，且\(R\)中的\(\cdotp\)对\(+\)适合分配律，则称\(\lang R,+,\cdotp\rang\)为环，并称\(+\)和\(\cdotp\)为环中的加法和乘法。

方便起见，将环中加法的单位元记作\(0\)，将关于加法的逆元称为负元，记作\(-x\)，如果乘法有单位元，则记为\(1\)，如果乘法有逆元，则称为逆元，记为\(x^{-1}\)。用\(nx\)表示加法的\(n\)次幂，用\(x^n\)表示乘法的\(n\)次幂。

设\(R\)为环，则有

\[(1) \forall a\in R,a0=0a=0\\(2) \forall a,b\in R,(-a)b=a(-b)=-ab\\(3)\forall a,b\in R,(-a)(-b)=ab\\(4)\forall a,b,c\in R,a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca\\(5) \forall a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_m\in R,(\sum_{i=1}^na_i)(\sum_{j=1}^mb_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_ib_j\\(6)\forall a,b\in R,\forall n\in \mathbb{Z},(na)b=a(nb)=n(ab) \]

在环\(R\)中，若有\(ab=0\)则称\(a\)为\(R\)的左零因子，\(b\)为\(R\)的右零因子。如果一个元素既是左零因子又是右零因子，则称这个元素为零因子。

如果在环\(R\)中，\(ab=0\Longrightarrow a=0\lor b=0\)，则称\(R\)为一个无零因子环。

\(R\)为一个无零因子环当且仅当\(R\)中的乘法满足消去律。

若\(R\)中的乘法适合交换律，则称\(R\)为交换环。

若\(R\)中乘法含有单位元，则称\(R\)为含幺环。

若\(R\)是交换的含幺的无零因子环，则称\(R\)为整环。

设\(R\)为环，则如果\(R\)中至少含有两个元素，令\(R^*=R-\{0\}\)，且\(\lang R^*,\cdotp\rang\)构成一个群，则称\(R\)为一个除环。

如果\(R\)是一个交换的除环，则称\(R\)为域。

设\(F\)为有限域，称\(1\)在\(\lang F,+\rang\)中的阶为\(F\)的特征。特征一定是素数。

设\(F\)是有限域，则\(\exists p,|F|=p^n,n\in \mathbb{Z}^+\)。

\(18.2\) 子环、理想、商环和环同态

设\(\lang R,+,\cdotp\rang\)是环，\(S\subseteq R,S\not=\empty\)，如果\(\lang S,+,\cdotp\rang\)是环，则称\(\lang S,+,\cdotp\rang\)为\(\lang R,+,\cdotp\rang\)的子环，\(\lang R,+,\cdotp\rang\)是\(\lang S,+,\cdotp\rang\)的扩环。

\(S\)是\(R\)的子环的充要条件为\(\forall a,b\in S,a-b\in S,ab\in S\)。

\(R\)是环，令\(C=\{x|x\in R\land\forall a\in R(ax=xa)\}\)，则\(C\)是\(R\)的子环，称为\(R\)的中心。

\(\{0\}\)和\(R\)称为\(R\)的平凡子环。

设\(\lang R,+,\cdotp\rang\)是环，\(S\subseteq R,S\not=\empty\)

如果\(R\)为整环，\(S\)对\(R\)中的操作也构成一个整环，那么称\(S\)为\(R\)的子整环。

如果\(R\)为除环，\(S\)对\(R\)中的操作也构成一个除环，那么称\(S\)为\(R\)的子除环。

如果\(R\)为域，\(S\)对\(R\)中的操作也构成一个域，那么称\(S\)为\(R\)的子域。

设\(\lang R,+,\cdotp\rang\)是环，\(D\)是\(R\)的非空子集，则若\(\lang D,+\rang\)构成Abel群，且\(\forall r\in R,rD\subseteq D\land Dr\subseteq D\)，则称\(D\)为\(R\)的理想。

任何环\(R\)都有两个理想\(\{0\}\)和\(R\)，称为环的平凡理想。除平凡理想外的其他理想称为环的真理想。

设\(D\)是\(R\)的理想，对于任意的\(x\in R\)，\(x\)关于加法的陪集记作\(\overline x\)，即\(\overline x=D+x=\{d+x|d\in D\}\)。令\(R/D=\{\overline x|x\in R\}\)是\(D\)的全体加法陪集的集合，在\(R/D\)上定义运算\(\overline x+\overline y=\overline{x+y},\overline x\cdot \overline y=\overline {x\cdot y}\)。则\(\lang R/D,+,\cdotp\rang\)构成一个环，称为\(R\)关于\(D\)的商环。

设\(\lang R_1,+,\cdotp\rang,\lang R_2,+,\cdotp\rang\)为两个环，\(\varphi:R_1\to R_2\)。若对于\(\forall x,y\in R_1,\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y),\varphi(x\cdot y)=\varphi(x)\cdot \varphi(y)\)，则称\(\varphi\)是\(R_1\)到\(R_2\)的同态映射，简称同态。如果\(\varphi\)是满射，则称\(\varphi\)是满同态，如果\(\varphi\)是单射，则称\(\varphi\)是单同态，如果\(\varphi\)是双射，则称\(\varphi\)是同构。

\(I=\{x|x\in R_1,\varphi(x)=0\}\)称为环同态的核，记为\(\ker \varphi\)

\(\ker\varphi\)是群的一个理想。

设\(\varphi:R_1\to R_2\)是环同态，则

\(S\)是\(R_1\)的子环，则\(\varphi(S)\)是\(R_2\)的子环。

\(T\)是\(R_2\)的子环，则\(\varphi^{-1}(T)\)是\(R_1\)的子环。

\(D\)是\(R_1\)的理想，则\(\varphi(D)\)是\(\varphi(R_1)\)的理想。

\(I\)是\(R_2\)的理想，则\(\varphi^{-1}(I)\)是\(R_1\)的理想。

设\(D\)是环\(R\)的理想，\(g:R\to R/D,\forall r\in R,g(r)=D+r\)，则\(g\)是\(R\)到\(R/D\)的同态，称为自然同态，且\(\ker g=D\)

环同态基本定理

环\(R\)的任何商环\(R/D\)都是\(R\)的同态像。若\(R'\overset{\varphi}{\sim}R\)的同态像，则\(R'\cong R/\ker \varphi\)

\(18.3\) 有限域上的多项式环

设\(F\)为域，令\(F[x]=\{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n|n\in \mathbb{N},a_i\in F,i=0,1,\cdots,n\}\)，则\(F[x]\)关于\(F\)上的多项式加法和乘法构成一个环，称为域\(F\)上的多项式环。如果\(F\)是有限域，则称\(F[x]\)是有限域\(F\)上的多项式环。

设\(F[x]\)是有限域上的多项式环，\(f(x)\in F[x]\)，在\(F[x]\)上定义二元运算\(R,\forall g(x),h(x)\in F[x],g(x)Rh(x)\Longleftrightarrow f(x)|(g(x)-h(x))\)，则\(R\)是\(F[x]\)上的同余关系。称\(g(x)\)和\(h(x)\)是模\(f(x)\)同余的，记作\(g(x)\equiv h(x)\pmod{f(x)}\)

定义\(a(x)\in F[x]\)关于\(f(x)\)的除法：\(a(x)=f(x)q(x)+r(x)\)，其中\(q(x)\)称为商，\(r(x)\)为余数，\(r(x)\)的次数小于\(f(x)\)的。

将\(F[x]\)中所有次数小于\(f(x)\)次数的多项式构成的集合记为\(F[x]/f(x)\)，\(a(x),b(x)\in F[x]/f(x)\)，定义\(F[x]/f(x)\)中模\(f(x)\)的加法和乘法，\(a(x)+b(x)=f(x)q_1(x)+r_1(x),a(x)b(x)=f(x)q_2(x)+r_2(x)\)，其中\(r_1(x),r_2(x)\in F[x]/f(x)\)，则\(a(x)+b(x)\equiv r_1(x)\pmod{f(x)},a(x)b(x)\equiv r_2(x)\pmod{f(x)}\)。

\(F[x]/f(x)\)关于模\(f(x)\)的加法和乘法构成一个环，称为域\(F\)上的模\(f(x)\)的多项式环。

当\(F=\{0,1,\cdots,p-1\}\)时将\(F[x]\)记作\(F_p[x]\)

设\(a(x)\in F[x]\)，次数为\(t\)，如果不存在次数小于\(t\)的多项式\(b(x),c(x),s.t.\ a(x)=b(x)c(x)\)，则称\(a(x)\)是不可约的。

设\(F\)为有限域，环\(F[x]/f(x)\)是域当且仅当\(f(x)\)在\(F[x]\)上是不可约的。

\(19\) 格与布尔代数

\(19.1\) 格的定义和性质

设\(\lang S,\preccurlyeq\rang\)是偏序集，若有\(\forall x,y\in S\)，\(\{x,y\}\)都有最大下界和最小上界，则称偏序关系\(\lang S,\preccurlyeq\rang\)是一个格。将\(\{x,y\}\)最大下界记为\(x\land y\)，最小上界记为\(x\lor y\)。

设\(\lang S,\preccurlyeq\rang\)是格，\(P\)是由格中元素及\(\preccurlyeq,=,\succcurlyeq,\land,\lor\)等符号表示的命题，如果将\(P\)中的\(\preccurlyeq,\succcurlyeq,\land,\lor\)分别替换为\(\succcurlyeq,\preccurlyeq,\lor,\land\)，得到的命题为\(P^*\)，称\(P^*\)为\(P\)的对偶命题，简称对偶。

如果命题\(P\)对一切的格\(L\)为真，则\(P\)的对偶命题对一切的格为真。

设\(\lang S,\preccurlyeq\rang\)为格，\(\forall a,b,c\in S\)，有

\[\begin{array}{ll}(1) a\land b\preccurlyeq a,a\land b\preccurlyeq b &(2) a\preccurlyeq a\lor b,b\preccurlyeq a\lor b\\ (3) (a\preccurlyeq b,a\preccurlyeq c)\Longrightarrow a\preccurlyeq b\lor c&(4) (a\succcurlyeq b,a\succcurlyeq c)\Longrightarrow a\succcurlyeq b\lor c\end{array} \]

\(\forall a,b\in S, a\preccurlyeq b\Longleftrightarrow a\land b=a\Longleftrightarrow a\lor b=b\)

设\(\lang L,\land,\lor\rang\)是格\(L\)导出的代数系统，则运算\(\land,\lor\)满足交换律，结合律，幂等律，吸收率。

设代数系统\(\lang S,*,\circ\rang\)，若\(*\)和\(\circ\)运算遵从交换律、结合律和吸收率，则可适当定义\(S\)上的偏序\(\preccurlyeq\)，使得\(\lang S,\preccurlyeq\rang\)构成一个格，且\(\lang S,\preccurlyeq\rang\)导出的代数系统\(\lang S,\land,\lor\rang\)就是\(\lang S,*,\circ\rang\)。称\(\lang S,*,\circ\rang\)为一个格。

设\(L\)是格，则\(\forall a,b,c\in L,a\preccurlyeq b\Longrightarrow a\land c\preccurlyeq b\land c,a\lor c\preccurlyeq b\lor c\)，且有\(\forall a,b,c,d\in L,a\preccurlyeq b,c\preccurlyeq d\Longrightarrow a\land c\preccurlyeq b\land d,a\lor c\preccurlyeq b\lor d\)，即\(\land,\lor\)具有保序性。

分配不等式：\(\forall a,b,c\in L,a\lor(b\land c)\preccurlyeq (a\lor b)\land(a\lor c),a\land(b\lor c)\succcurlyeq (a\land b)\lor (a\land c)\)

模不等式：\(\forall a,b,c\in L,a\preccurlyeq b\Longleftrightarrow a\lor(c\land b)\preccurlyeq (a\lor c)\land b\)

\(19.2\) 子格、格同态和格的直积

设\(\lang L,\land,\lor\rang\)是格，\(S\)是\(L\)的非空子集，若\(S\)关于\(\land,\lor\)封闭，则称\(\lang S,\land,\lor\rang\)是\(L\)的子格。

设\(L_1,L_2\)是格，\(\varphi:L_1\to L_2\)，若\(\forall a,b\in L_1,\varphi(a\land b)=\varphi(a)\land \varphi(b),\varphi(a\lor b)=\varphi(a)\lor \varphi(b)\)，则称\(\varphi\)是\(L_1\)到\(L_2\)的同态映射。\(a\preccurlyeq b\Longrightarrow \varphi(a)\preccurlyeq \varphi(b)\)，即格的同态映射具有保序性，但反过来，保序的映射不一定是同态映射。

若\(\varphi:L_1\to L_2\)为双射，\(\varphi\)为同态映射当且仅当\(\forall a,b\in L_1,a\preccurlyeq b\Longleftrightarrow \varphi(a)\preccurlyeq \varphi(b)\)

设\(L\)为格，若\(\forall S\subseteq L,\land S,\lor S\)都存在，则称\(L\)为完备格。

设\(L\)为偏序集，若\(\forall S\subseteq L,\land S,\lor S\)中至少一个存在，则\(L\)是完备格。

设\(I\subseteq L,I\not= \empty,(\forall a,b\in I,a\lor b\in I),(\forall a\in I,\forall x\in L,x\preccurlyeq a\Longrightarrow x\in I)\)，则称\(I\)是\(L\)的一个理想。

设\(L\)是格，\(I(L)=\{x|x\)是\(L\)的理想\(\}\)。则\(I(L)\)关于集合的包含关系构成一个格，称为格\(L\)的理想格。

令\(I_0(L)=I(L)\cup\{\empty\}\)，则\(I_0(L)\)是完备格。

设\(L_1\)是格，若能构造格\(L\)，使得格\(L_1\)与\(L\)的某个子格同构，则称格\(L_1\)能嵌入格\(L\)中。

任意格\(L\)都能嵌入\(I_0(L)\)中。