（转）计算组合数--整数拆分
出自http://hi.baidu.com/xun1573/blog/item/4878002796f8ea07918f9dfd.html
1.计算组合数： 一般常用C(n+1,k)=(n+1)!/k!/(n+1-k)!来计算组合数，但是这个方法中涉及到阶乘运算，数据n不能太大。用下面的方法则可以避免这个问题。
帕斯卡恒等式为C(n+1,k)=C(n,k-1)+C(n,k)
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
void error()
{
printf("Something is wrong,Please check it!");
exit(1);
}
int fun(int n,int m)
{
if(n<0||m<0)
error();
if(n<m) return 0;
if(m==0||m==n)
return 1;
else
return fun(n-1,m)+fun(n-1,m-1);
}
int main()
{
int n,m;
printf("Input two data:\n");
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("The combo number is:\n%d\n",fun(n,m));
return 0;
}
前面的代码还是有点麻烦，递归次数太多而影响效率，例如要计算C(5,1)，按照帕斯卡公式应该拆分如下：
C(5,1) =C(4,1)+C(4,0)=C(3,1)+C(3,0)+C(4,0)=C(2,1)+C(2,0)+C(3,0)+C(4,0)=C(1,1)+C(1,0)+C(2,0)+C(3,0)+C(4,0)=5
可以想象，如果把其中的代码写成下面的样子应该会好一些：
long fun(long n,long r)
{
if(r<0||n<0)//异常处理
{
printf("\nError.Exit!");
exit(-1);
}
if(r>n)//数学定义
return 0;
if(r==1||r==n-1)//根据组合定义，我们有C(n,1)=C(n,n-1)=n
return n;
if(r==0||r==n)//根据组合定义，我们有C(n,0)=C(n,n)=1
return 1;
return fun(n-1,r)+fun(n-1,r-1);//帕斯卡组合公式
}
如果按照这个思路延续下去，我们完全可以在代码中写出if(r==2||r==n-2)、if(r==3||r==n-3)甚至更高，但这样的话，就变成数学问题了，就不是程序设计了。最后我们再看看组合数的定义公式C(n,r)=n!/r!/(n-r)!，改写一下：
C(n,r)=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1/[r×(r-1)×(r-2)×...×2×1]/[(n-r)×(n-r-1)×(n-r-2)×...×2×1]
可以看出，有些数如n到max(r,n-r)只有分子上有，有些数如max(r,n-r)到min(r,n-r)分子分母都有，而另一些数如min(r,n-r)到1分子上出现一次而分母上出现两次。因而，我把代码写成下面的样子：
long max(long m,long n)
{
if(m>n)
return m;
return n;
}
long min(long m,long n)
{
if(m<n)
return m;
return n;
}
long newfun(long n,long r)
{
long i;
long result=1;
for(i=n;i>0;i--)
{
if(i>max(r,n-r))
result*=i;
else if(i<=min(r,n-r))
result/=i;
}
return result;
}
写成这样是否就完美了呢?我认为还没有。仔细看一下，就会发现，在最后一个程序中多次调用max函数和min函数，很明显会影响程序效率。考虑了一下，利用“空间”来换取“时间”，我又修改成了下面的样子：
long max(long m,long n)
{
if(m>n)
return m;
return n;
}
long min(long m,long n)
{
if(m<n)
return m;
return n;
}
long newfun(long n,long r)
{
long i;
long maxvalue,minvalue;
long result=1;
maxvalue=max(r,n-r);
minvalue=min(r,n-r);
for(i=n;i>0;i--)
{
if(i>maxvalue)
result*=i;
else if(i<=minvalue)
result/=i;
}
return result;
}
2. 计算组合：利用二进制数计算无重复组合
#define N 5
＃i nclude <conio.h>
void init(int arr[])
{ /* to initiate the array*/
int i;
for(i=0;i<N;i++)
arr[i]=i+1;
}
void next(int arr[])
{ /* to compute the next possible combination*/
int i;
for(i=N-1;i>=0&&arr[i]==1;i--)
arr[i]=0;
if(i>=0)
arr[i]=1;
}
int ZeroAtPos(int arr[])
{ /* return the position of 0 at the 'binary' array,if not,return -1*/
int i;
for(i=0;i<N;i++)
if(arr[i]==0)
return i;
return -1;
}
void output(int arr[],int binary[])
{ /* print the current combination according to 'binary' array*/
int i;
for(i=0;i<N;i++)
if(binary[i]==1)
printf("%4d",arr[i]);
printf("\n");
}
main()
{
int array[N];
int binary[N]={0};
clrscr();
init(array);
while(ZeroAtPos(binary)!=-1)
{
next(binary);
output(array,binary);
}
}
3. 计算组合：利用函数递归计算无重复组合
int n,r;
int a[10];
void fun(int m,int k)
{
int i,j;
for(i=m;i>=k;i--)
{
a[k-1]=i;
if(k>1)
fun(i-1,k-1);
else
{
for(j=r-1;j>=0;j--)
printf("%5d",a[j]);
printf("\n");
}
}
}
void main()
{
n=5;
for(r=1;r<=n;r++)
fun(n,r);
}
4. 计算组合：利用函数递归计算有重复组合
int r;
int result[20]={0};
zuhe(int m,int k)
{
int i,j;
for(i=m;i>=0;i--)
{
result[k-1]=i;
if(k>1)
zuhe(i,k-1);
else
{
for(j=0;j<r;j++)
printf("%4d",result[j]);
printf("\n");
}
}
}
main()
{
r=3;
zuhe(7,r);
}
5. 计算组合：常规算法计算无重复组合
从n个数中取r个数的组合，假设c1c2c3...cr是其中一个组合，则计算其下一个组合的算法如下：
Step 1:求满足不等式cj<n-r+j的最大坐标，并设为i。即i=max{j | cj<n-r+j}
Step 2:设置ci=ci+1
Step 3:设置cj=cj-1+1，对于j=i+1,i+2,i+3,...,r
＃i nclude <conio.h>
int fun(int choice[],int r,int n)
{//利用了上面的算法，计算下一个组合
int i,j;
for(i=r-1;i>=0;i--)
if(choice[i]<n-r+i)
break;
if(i<0)//已经是最后一个了
return 0;
choice[i]+=1;
for(j=i+1;j<r;j++)
choice[j]=choice[j-1]+1;
return 1;//还有后续组合
}
void comb(char source[],int total,int count)
{
int choice[5];
int i;
for(i=0;i<count;i++)//人工设置第一个组合
choice[i]=i;
do
{
printf("\n");
for(i=0;i<count;i++)
{//输出当前组合
int t=choice[i];
printf("%c ",source[t]);
}
}while(fun(choice,count,total));
}
void main()
{
char array[5]={'a','b','c','d','e'};
clrscr();
comb(array,5,2);
}
6. 组合应用：利用组合求解背包问题
求n个元素的所有组合，有很多方法，有一个方式是这样的：定义一个参考数组并设初值为全0，然后处理参考数组（从后向前扫描，若当前元素值为1则变为0，继续扫描；若当前元素值为0则变为1，然后退出扫描）。接下来根据参考数组输出n个元素（若对应的参考数组中元素值为1，则选择此元素，即输出）。
可以利用这个求组合的方法计算背包问题，其实背包问题本来就可以看作n个元素的r组合。代码如下：
#define K 10
#define N 10
＃ i nclude <stdlib.h>
＃i nclude <conio.h>
void create(long array[],int n,int k)
{
int i,j;
array[0]=1;
for(i=1;i<n;i++)
{
long t=0;
for(j=0;j<i;j++)
t=t+array[j];
array[i]=t+random(k)+1;
}
}
void output(long array[],int n)
{
int i;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(i%5==0)
printf("\n");
printf("%14ld",array[i]);
}
}
void beibao(long array[],int cankao[],long value,int n)
{
int i;
int j;
int cankao1[N]={0};
long value1=0,value2=0;
do
{
value2=0;
for(j=n-1;j>=0;j--)/*处理参考数组*/
if(cankao1[j]==0)
{
cankao1[j]=1;
break;
}
else if(cankao1[j]==1)
cankao1[j]=0;
for(i=0;i<n;i++)/*计算当前选择方案*/
if(cankao1[i]==1)
value2+=array[i];
if(value2<=value&&value2>value1)/*若当前选择方案可取*/
{
value1=value2;
for(i=0;i<n;i++)/*记录选择方案*/
cankao[i]=cankao1[i];
}
}while(j>=0);
}
void main()
{
long array[N];
int cankao[N]={0};
int i;
long value;
clrscr();
create(array,N,K);
output(array,N);
printf("\nInput the value of beibao:\n");
scanf("%ld",&value);
beibao(array,cankao,value,N);
printf("\nThe answer is:\n");
for(i=0;i<N;i++)
if(cankao[i]==1)
printf("%8ld",array[i]);
}
7. 组合应用：利用组合求解整数拆分
所谓整数的拆分，就是把一个整数拆成多个整数之和，如
5=1+1+1+1+1
5=1+1+1+2
5=1+1+3
5=1+2+2
5=1+4
5=2+3
5=5
其实，整数拆分问题可以用过组合来求解，也就是在C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)所有的组合中查找组合中所有数之和为n的组合。代码如下：
＃i nclude <conio.h>
#define N 9
int r;
int result[20]={0};
zuhe(int m,int k)
{
int i,j;
for(i=m;i>=1;i--)
{
result[k-1]=i;
if(k>1)
zuhe(i,k-1);
else
{
int temp=0;
for(j=0;j<r;j++)
temp+=result[j];
if(temp==N)//当前组合是整数N的一个拆分
{
for(j=0;j<r;j++)
printf("%4d",result[j]);
printf("\n");
}
}
}
}
main()
{
clrscr();
printf("\nN=%d\n",N);
for(r=N;r>0;r--)
zuhe(N,r);
}
运行结果：
N=7
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 3
1 1 1 2 2
1 1 1 4
1 1 2 3
1 2 2 2
1 1 5
1 2 4
1 3 3
2 2 3
1 6
2 5
3 4
7
N=6
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2
1 1 1 3
1 1 2 2
1 1 4
1 2 3
2 2 2
1 5
2 4
3 3
6
N=5
1 1 1 1 1
1 1 1 2
1 1 3
1 2 2
1 4
2 3
5
N=8
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 4
1 1 1 2 3
1 1 2 2 2
1 1 1 5
1 1 2 4
1 1 3 3
1 2 2 3
2 2 2 2
1 1 6
1 2 5
1 3 4
2 2 4
2 3 3
1 7
2 6
3 5
4 4
8
N=3
1 1 1
1 2
3
