【数据结构和算法】【体系化学习】图
一、图的概念
二、图的存储
2.1、邻接矩阵
2.2、邻接表
2.3、hash分片存储顶点关系
2.4、关系数据库存储顶点关系
三、图的遍历和搜索
3.1、广度优先搜素-邻接表
3.1.1代码
public class BFS { /** * 图的顶点个数 */ private int v; /** * 临接表的数组 */ private Grap[] adj; /** * 遍历 * * @param s 出发的顶点 * @param t 目标顶点 */ public void bfs(int s, int t) { if (s == t) { return; } //记录节点被访问过标记，防止重复访问 boolean[] visited = new boolean[v]; visited[s] = true; //基于队列缓存第K+1层节点 Queue<Integer> queue = new LinkedList<>(); queue.add(s); //记录访问顶点的上一个顶点 int[] prev = new int[v]; for (int i = 0; i < v; ++i) { prev[i] = -1; } while (queue.size() != 0) { int w = queue.poll(); for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) { int q = adj[w].get(i); if (!visited[q]) { prev[q] = w; if (q == t) { print(prev, s, t); return; } visited[q] = true; queue.add(q); } } } } private void print(int[] prev, int s, int t) { // 递归打印s->t的路径 if (prev[t] != -1 && t != s) { print(prev, s, prev[t]); } System.out.print(t + " "); } } /** * 邻接表 */ class Grap { /** * 顶点 */ int v; /** * 对应的邻接表 */ LinkedList<Integer> linkTable; /** * 图中顶点-连接的顶点个数大小 * * @return */ public Integer size() { return linkTable.size(); } /** * 图中的顶点-获取邻接表的顶点 * * @param i * @return */ public Integer get(int i) { return linkTable.get(i); } }
顶点 t 离起始顶点 s 很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E)，其中，V 表示顶点的个数，E 表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，E 肯定要大于等于 V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为 O(E)。广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量 visited 数组、queue 队列、prev 数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是 O(V)。
3.1.2、搜索S到T的最短路径
3.1.3、搜索步骤的分解图
3.2、深度优先搜素-邻接表
3.2.1、代码
public class DFS { /** * 图的顶点个数 */ private int v; /** * 临接表的数组 */ private DFS.Grahp[] adj; boolean found = false; // 全局变量或者类成员变量 public void dfs(int s, int t) { found = false; boolean[] visited = new boolean[v]; int[] prev = new int[v]; for (int i = 0; i < v; ++i) { prev[i] = -1; } recurDfs(s, t, visited, prev); print(prev, s, t); } private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev) { if (found == true) { return; } visited[w] = true; if (w == t) { found = true; return; } for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) { int q = adj[w].get(i); if (!visited[q]) { prev[q] = w; recurDfs(q, t, visited, prev); } } } private void print(int[] prev, int s, int t) { // 递归打印s->t的路径 if (prev[t] != -1 && t != s) { print(prev, s, prev[t]); } System.out.print(t + " "); } public static class Grahp { /** * 顶点 */ int v; /** * 对应的邻接表 */ LinkedList<Integer> linkTable; /** * 图中顶点-连接的顶点个数大小 * * @return */ public Integer size() { return linkTable.size(); } /** * 图中的顶点-获取邻接表的顶点 * * @param i * @return */ public Integer get(int i) { return linkTable.get(i); } } }
3.2.2、搜索路径
深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想，回溯思想。这种思想解决问题的过程，非常适合用递归来实现。
从下面画的图可以看出，每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是 O(E)，E 表示边的个数。深度优先搜索算法的消耗内存主要是 visited、prev 数组和递归调用栈。visited、prev 数组的大小跟顶点的个数 V 成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是 O(V)。
3.3、深度和广度优先搜索算法总结
广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种最常用、最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算法，比如 A*、IDA* 等，要简单粗暴，没有什么优化，所以，也被叫作暴力搜索算法。所以，这两种搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是说图不大的搜索。
广度优先搜索，通俗的理解就是，地毯式层层推进，从起始顶点开始，依次往外遍历。
广度优先搜索需要借助队列来实现，遍历得到的路径就是，起始顶点到终止顶点的最短路径。
深度优先搜索用的是回溯思想，非常适合用递归实现。换种说法，深度优先搜索是借助栈来实现的。
在执行效率方面，深度优先和广度优先搜索的时间复杂度都是 O(E)，空间复杂度是 O(V)。
