【数据结构和算法】之递归
一、递归的含义
1、递归案例
周末你带着女朋友去电影院看电影，女朋友问你，咱们现在坐在第几排啊？电影院里面太黑了，看不清，没法数，现在你怎么办？别忘了你是程序员，这个可难不倒你，递归就开始排上用场了。于是你就问前面一排的人他是第几排，你想只要在他的数字上加一，就知道自己在哪一排了。但是，前面的人也看不清啊，所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前问，直到问到第一排的人，说我在第一排，然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排，于是你就知道答案了。
这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去的过程叫“递”，回来的过程叫“归”。基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示。刚刚这个生活中的例子，我们用递推公式将它表示出来就是这样的：
f(n)=f(n-1)+1 其中，f(1)=1
f(n) 表示你想知道自己在哪一排，f(n-1) 表示前面一排所在的排数，f(1)=1 表示第一排的人知道自己在第一排。有了这个递推公式，我们就可以很轻松地将它改为递归代码，如下：
int f(int n) { if (n == 1) return 1; return f(n-1) + 1; }
二、为什么要学习递归
递归是一种应用非常广泛的算法（或者编程技巧）。
之后我们要讲的很多数据结构和算法的编码实现都要用到递归，比如 DFS 深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等。所以，搞懂递归非常重要，否则，后面复杂一些的数据结构和算法学起来就会比较吃力。
三、如何识别代码需要用递归实现
1、递归需要满足的三个条件
- 一个问题的解可以分解为几个子问题的解
==>何为子问题？子问题就是数据规模更小的问题。比如，前面讲的电影院的例子，你要知道，“自己在哪一排”的问题，可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。 - 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
==>比如电影院那个例子，你求解“自己在哪一排”的思路，和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路，是一模一样的。 - 存在递归终止条件
==>把问题分解为子问题，把子问题再分解为子子问题，一层一层分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。
==>还是电影院的例子，第一排的人不需要再继续询问任何人，就知道自己在哪一排，也就是 f(1)=1，这就是递归的终止条件。
2、如何写出递归代码
- 找到如何将大问题分解为小问题的规律
- 并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件
- 将递推公式和终止条件翻译成代码
3、一个递归算法的案例：假如这里有 n 个台阶，每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶，请问走这 n 个台阶有多少种走法？
如果有 7 个台阶，你可以 2，2，2，1 这样子上去，也可以 1，2，1，1，2 这样子上去，总之走法有很多，那如何用编程求得总共有多少种走法呢？
我们仔细想下，实际上，可以根据第一步的走法把所有走法分为两类，第一类是第一步走了 1 个台阶，另一类是第一步走了 2 个台阶。所以 n 个台阶的走法就等于先走 1 阶后，n-1 个台阶的走法 加上先走 2 阶后，n-2 个台阶的走法。用公式表示就是：
f(n) = f(n-1)+f(n-2)
有了递推公式，递归代码基本上就完成了一半。我们再来看下终止条件。
当有一个台阶时，我们不需要再继续递归，就只有一种走法。所以 f(1)=1。这个递归终止条件足够吗？
我们可以用 n=2，n=3 这样比较小的数试验一下。n=2 时，f(2)=f(1)+f(0)。如果递归终止条件只有一个 f(1)=1，那 f(2) 就无法求解了。
所以除了 f(1)=1 这一个递归终止条件外，还要有 f(0)=1，表示走 0 个台阶有一种走法，不过这样子看起来就不符合正常的逻辑思维了。
所以，我们可以把 f(2)=2 作为一种终止条件，表示走 2 个台阶，有两种走法，一步走完或者分两步来走。
所以，递归终止条件就是 f(1)=1，f(2)=2。这个时候，你可以再拿 n=3，n=4 来验证一下，这个终止条件是否足够并且正确。
我们把递归终止条件和刚刚得到的递推公式放到一起就是这样的：
f(1) = 1; f(2) = 2; f(n) = f(n-1)+f(n-2)
翻译成java代码为：
int f(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; return f(n - 1) + f(n - 2); }
四、递归问题分析的误区
虽然我讲了这么多方法，但是作为初学者的你，现在是不是还是有种想不太清楚的感觉呢？
实际上，我刚学递归的时候，也有这种感觉，这也是文章开头我说递归代码比较难理解的地方。
刚讲的电影院的例子，我们的递归调用只有一个分支，也就是说“一个问题只需要分解为一个子问题”，我们很容易能够想清楚“递“和”归”的每一个步骤，所以写起来、理解起来都不难。
但是，当我们面对的是一个问题要分解为多个子问题的情况，递归代码就没那么好理解了。像我刚刚讲的第二个例子（n个台阶，一次走1步或2步总共的走法），人脑几乎没办法把整个“递”和“归”的过程一步一步都想清楚。
计算机擅长做重复的事情，所以递归正和它的胃口。而我们人脑更喜欢平铺直叙的思维方式。
当我们看到递归时，我们总想把递归平铺展开，脑子里就会循环，一层一层往下调，然后再一层一层返回，试图想搞清楚计算机每一步都是怎么执行的，这样就很容易被绕进去。对于递归代码，这种试图想清楚整个递和归过程的做法，实际上是进入了一个思维误区。
很多时候，我们理解起来比较吃力，主要原因就是自己给自己制造了这种理解障碍。那正确的思维方式应该是怎样的呢？
- 如果一个问题 A 可以分解为若干子问题 B、C、D，你可以假设子问题 B、C、D 已经解决，
- 在此基础上思考如何解决问题 A。而且，你只需要思考问题 A 与子问题 B、C、D 两层之间的关系即可，不需要一层一层往下思考子问题与子子问题，子子问题与子子子问题之间的关系。
- 屏蔽掉递归细节，这样子理解起来就简单多了。
- 编写递归代码的关键是，只要遇到递归，我们就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。
五、写递归代码需要注意的点
递归代码要警惕堆栈溢出
递归代码要警惕重复计算（利用上下文解决问题）
