【数据结构和算法】证明链表有环的算法正确性

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双指针判断单链表是否有环的正确性证明
​问题：给你一个单链表，需要找到一个方法进行判断是否有环的存在。
这篇文章主要证明一下，为什么存在环的情况下两个指针（slow和fast指针）就一定会相遇。

双指针判断单链表是否有环
​使用两个slow, fast指针从头开始扫描链表。指针slow 每次走1步，指针fast每次走2步。如果存在环，则指针slow、fast会相遇；如果不存在环，指针fast遇到NULL退出。

其实就是所谓的追及相遇问题：

证明存在环就会导致两个指针（slow和fast指针）一定相遇。

现在，我把情况还原到完整的环中，看看具体发生的情况到底是什么？
首先看下面的图，图中的单链表是有环的。

图1. 有环的单链表

图2. 步骤一

图3. 步骤二

图4. 步骤三

从图4可以看出，经过两次移动，fast指针刚好进入环，指向node4节点，而slow指针才移动到node2节点。

图5. 步骤四

图6. 步骤五

从图6可以看到，当slow指针移动到node4节点，即刚进入环时，fast指针已经移动到node8节点了。

图7. 步骤六

从图7中看到，非常的巧，slow指针进入环后，向前移动了一次就和fast指针相遇了。

将上述的过程一般化。

首先可以肯定得是fast指针一定是先进入到环中的，随后slow指针才会进入到环中，可能slow进入环中时，fast指针已经在环里面循环很多圈了，这都没关系，我们只关注slow指针进入环时，fast指针与slow指针的相对位置。

图8. 泛化

链表除头节点外，所有的节点都统一编号，进入环的节点是node k，图中只是标注了编号。整个环由k节点，k+1节点，…k+n节点构成，一共是(n+1)个节点。
最开始的时候slow指针和fast指针都指向头节点，然后两个指针同时移动k次：
(1) slow指针每次移动一个节点，到达k号节点，刚好是进入环的节点。
(2) fast节点每次移动二个节点，通过2*k个节点，到达k+x号节点，处于环中。
这个x可以计算出来，如下所示：

x=（2∗k−k）%（n+1）

下面进行验证一下。对于图6而言，k=4，n=4，所以x=4，所以当slow指向node4时，fast指针应该指向node(k+x)就是node8，可以看到图6已经验证了这个结论。

下面计算一下slow指向k节点时，fast与slow地相对距离m。

m = ​n-x+1

   = n+ 1- (2*k-k)%(n+1)

   = n+1- k%/(n+1)

m满足：

m<(n+1)

也就是说保持slow指针不动，fast指针再向前走m个节点就可以和slow指针相遇。
由于slow指针向前移动一个节点，fast指针就会向前移动两个节点，所以同时再移动m次就可以相遇了。下面来给出证明。
由上面的假设可知，当slow进入环时，即指向node k节点时，fast指针与slow指针的相对距离是m，也就是此时保持slow不动，fast再向前移动m个节点就可以和slow相遇。
那么，现在slow和fast同时移动m次。

 

slow节点会到达的节点为：

k+m

 

fast节点会到达：

k+(x+2∗m)%(n+1)= k+((2∗k−k)%(n+1)+2∗m)%(n+1)

　　　　　　　　= k+(k%(n+1)+2∗((n+1)−k%(n+1)))%(n+1)

　　　　　　　　= k+(k%(n+1)+2∗(n+1)−2∗k%(n+1))%(n+1)

　　　　　　　　= k+(2∗(n+1)−k%(n+1))%(n+1)

　　　　　　　　= k+(n+1−k%(n+1))%(n+1)+(n+1)%(n+1)

　　　　　　　　= k+(n+1−k%(n+1))%(n+1)​ 

 

下面进行化简与推导：

∵ m=n+1−k%(n+1)

∴ k+(x+2∗m)%(n+1)=k+m%(n+1)

∵ m<(n+1)

∴ m%(n+1)=m

∴​ k+(x+2*m)%(n+1)=k+m

 

所以slow指针进入到环时，fast和slow指针共同再移动m次就可以在k+m节点相遇了。

综上所述：
slow指针进入环后，只要再走m步（fast落后slow指针的节点数）就一定会和fast指针相遇。slow指针进入环后，假设fast指针再往前走m个节点就会到达当前slow指针的位置，那么当slow指针和fast指针同时移动的时候，slow指针每向前移动一个节点，fast指针就会向前移动两个节点，fast与slow之间的距离就会缩短一个，所以当移动m步之后，fast指针就会和slow指针相遇。

 

===============证明思路==============

1、先通过一个例子进行说明思路。

2、将例子进行泛化，用参数表现。

3、分析问题，转化成数学的追及问题。

4、求证，当slow进入环后，fast与其的相对位置，以及fast和slow相遇的条件。证明两者移动后的位置，是否相等。

===============链表有环的算法========

package com.spring.test.service.algorithm.problem;

/**
 * @date 8:22 PM 2019/6/16
 */
public class LinkedListHasARing {


    /**
     * 判断Node是否有环
     *
     * @param node
     * @return
     */
    public static boolean isHasARing(Node node) {
        if (node == null) {
            return false;
        }
        Node slow = node;
        Node fast = node;
        while (fast != null && fast.next != null) {
            //循环不变式，如果最快的节点不为空，且它的下一个节点也不为空，则说明链表还没有到尾端
            //移动快的节点，如果到尾端了,还没有跳出循环，说明无环

            //slow移动一个节点
            slow = slow.next;
            //fast移动两个节点
            fast = fast.next.next;
            if (slow == fast) {
                //如果fast节点等于next节点,则证明链表有环
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

/**
 * 链表节点
 */
class Node {
    String obj;
    Node next;
}

 

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